¿Cómo puedo derivar el valor de la matriz del operador de bonos?

Estoy siguiendo la sección 7.3 en Interacción de electrones y magnetismo cuántico por Assa Auerbach.

Los estados coherentes de espín en la representación del bosón de Schwinger vienen dados por:

$$| \Omega \rangle_S = e^{iS\chi} \frac{ (u a^{\dagger}+ v b^{\dagger})^{2S}}{\sqrt{(2S)!}} | 0\rangle$$

El operador de aniquilación$a$actúa como un derivado con respecto a$a^{\dagger}$, de este modo:

$$a | \Omega \rangle_S = e^{iS\chi} u \frac{ (u a^{\dagger}+ v b^{\dagger})^{2S-1}}{\sqrt{(2S)!}} | 0\rangle = \sqrt{2S} e^{i\frac{\chi}{2}} u| \Omega \rangle_{S-\frac{1}{2}}$$ Similarmente: $$b | \Omega \rangle_S =\sqrt{2S} e^{i\frac{\chi}{2}} v| \Omega \rangle_{S-\frac{1}{2}}$$ $$\langle \Omega|_S a^{\dagger} = \sqrt{2S} e^{i\frac{\chi}{2}} u^{*} \langle \Omega|_{S-\frac{1}{2}}$$

y

$$\langle \Omega|_S b^{\dagger} = \sqrt{2S} e^{i\frac{\chi}{2}} v^{*} \langle \Omega|_{S-\frac{1}{2}}$$

Realizando las cuatro operaciones transforma, todos los estados coherentes se vuelven$S-frac{1}{2}$estados, por lo que su producto interno es uno. Así obtenemos la segunda igualdad: La tercera igualdad se puede obtener usando las definiciones de las coordenadas del bosón de Schwinger en términos de las coordenadas esféricas

$$u = \cos\frac{\theta}{2}e^{i\frac{\phi}{2}}$$ $$v = \sin\frac{\theta}{2}e^{-i\frac{\phi}{2}}$$

El término$u_i^{*}u_j+ v_i^{*}v_j$:

Cuando uno de los puntos está en el polo norte ($u_i=1, v_i=0$) esta expresión es simplemente$\cos\frac{\theta_j}{2}$. En este caso, el producto escalar de los dos vectores coherentes es

$$\Omega_i \cdot \Omega_j = \cos\theta_j = 2 (\cos\frac{\theta_j}{2})^2-1$$ .

Como siempre podemos colocar uno de los puntos en el polo norte, tenemos:

$$u_i^{*}u_j+ v_i^{*}v_j = \sqrt{\frac{1 + \Omega_i \cdot \Omega_j }{2}}$$ Hasta una fase. Esta fase se calculó por sustitución directa de los vectores coherentes por la ecuación de Auerbach (7.19), dando exactamente la segunda igualdad en la pregunta.