Transformada de Fourier de señal de tiempo limitado

Lo que está preguntando cae en el ámbito de la estimación espectral , de la cual la estimación de frecuencia es un caso particular.

En general, sin conocimiento previo sobre las frecuencias en sus señales originales, no puede hacer lo que pide. Una razón fundamental es el aliasing. Si muestrea con cierta frecuencia$f_s$, no puede distinguir las frecuencias de entrada$nf_s - f_0$,$nf_s + f_0$para diferentes n de 0 a infinito. Por ejemplo, si muestrea a 100 Hz, no puede notar la diferencia entre una entrada de 20 Hz, una entrada de 80 Hz, 120 Hz, 180, 220, etc.

Otra limitación, si no sabe nada acerca de sus frecuencias de entrada, es que la precisión con la que puede estimar sus frecuencias de entrada está limitada por la cantidad de tiempo que muestrea. Por ejemplo, si muestrea a, digamos, 100 Hz durante 1 s, es posible que (en términos muy generales) apenas pueda distinguir entre una entrada de 20 Hz y una entrada de 21 Hz. Si muestrea durante 100 s, es posible que apenas pueda distinguir entre una entrada de 20 Hz y una entrada de 20,01 Hz, etc.

Estas limitaciones se aplican ya sea que tenga una entrada que se forme mediante la combinación de dos fuentes independientes o si solo tiene una entrada de onda sinusoidal pura y única y desea estimar su frecuencia. Por supuesto, el segundo límite tiene cierta relevancia si tiene dos entradas en frecuencias muy próximas y desea poder separarlas.

También puede obtener ayuda con esto en dsp.stackexchange.com , aunque la respuesta típica allí requiere una cantidad sustancial de conocimientos matemáticos que pueden dificultar su comprensión.

Si sabe que una señal es periódica, solo necesita un período para calcular la transformada de Fourier. El problema es determinar cuál será el período de las dos señales juntas, una vez que las sumas.

Dices que las señales tienen frecuencias únicas, supongo que te refieres a ondas sinusoidales. Al tener frecuencias únicas, tendrán un pico en el espectro y nada más (idealmente).

Al ser la transformada de Fourier lineal , la suma de las señales tendrá un espectro que es la suma de los espectros de las ondas sinusoidales individuales, por lo que tendrá dos picos exactamente en la misma posición de las otras dos señales.

Si la señal de suma tiene un periodo finito, será el intervalo mínimo necesario en el que tendrás que integrar para transformarla, de lo contrario introducirás un error y no podrás reconstruir las ondas sinusoidales originales.

Tenga en cuenta que las muestras finitas tienen dos implicaciones: muestrea en un intervalo de tiempo finito y muestrea con una frecuencia finita. Ambas son restricciones para las señales que desea transformar: la primera funciona solo si la señal transformada tiene un período finito (como dijimos), la segunda está dada por el teorema de Nyquist-Shannon y significa que necesita muestrear al menos en 2x la frecuencia máxima de la señal. Puede observar que la primera restricción pone un límite inferior en la frecuencia de la señal, y la segunda pone un límite superior.

Como nota al margen: no podrá reconstruir las señales si sus espectros se superponen, por lo que si son ondas sinusoidales, si sus frecuencias son iguales.

Si las dos frecuencias son únicas, es decir, f1/f2 = irracional, entonces la señal del producto no será periódica (tengo una prueba de esto si le importa)

No puede hacer una serie de Fourier en una señal no periódica. Lo mejor que podría hacer es un análisis de Fourier aproximado suponiendo que el período tiene un valor aceptable. Esto conducirá a una reconstrucción aproximada.

Muy a menudo, "combinamos" varias señales, las enviamos a través de un solo cable o fibra o por el aire, como una sola señal combinada, y en el otro extremo las separamos de nuevo en más o menos las señales originales.

Hay docenas de formas diferentes en las que "combinamos" las señales.

Entonces, ¿es posible averiguar el contenido de frecuencia... utilizando algún tipo de transformación?

Casi siempre usamos una transformada rápida de Fourier para calcular el contenido de frecuencia de una señal. (Algunas personas están experimentando con otras técnicas para encontrar el contenido de frecuencia de una señal: la transformada de Hartley, la transformada rápida de Walsh-Hadamard, la transformada de chirplet, la transformada de wavelet, etc.)

Supongamos que tomamos muestras finitas de estas señales. (entonces, tiempo finito de transformación).

En la práctica, cada vez que muestreamos una señal, siempre tomamos un número finito de muestras de una señal, durante un período de tiempo extremadamente limitado.

Ya debemos conocer (o adivinar) el rango de frecuencia de interés para seleccionar el filtro anti- aliasing y la frecuencia de muestreo adecuados.

Entonces, ¿es posible averiguar el contenido de frecuencia de las dos señales originales utilizando algún tipo de transformación?

Debe saber algo acerca de cómo se combinaron las señales y algo acerca de las señales originales, para obtener información útil de la señal combinada.

Por ejemplo, supongamos que sabe que las señales originales eran audio en el rango auditivo humano y que la primera señal estaba modulada en AM a 540 kHz, mientras que la segunda señal estaba modulada en AM a 1610 kHz, y luego las dos señales moduladas se sumaron. En ese caso, es bastante fácil averiguar el contenido de frecuencia de cada una de las dos señales de audio originales, mirando la pantalla de un analizador de espectro de RF (que a menudo se implementa tomando un número finito de muestras y luego aplicando una transformada rápida de Fourier) . También es bastante fácil demodular y recuperar la señal A y la señal B que son más o menos iguales a la primera y la segunda señal originales, respectivamente.

Para otro ejemplo, digamos que sabe que las señales originales eran audio en el rango auditivo humano, y que fueron moduladas en AM y luego las señales moduladas se sumaron, pero no sabe de antemano qué frecuencia de modulación en particular se usó. En ese caso, es bastante fácil mirar la pantalla de un analizador de espectro de RF y averiguar qué frecuencias de modulación se usaron. Luego, puede saber si las frecuencias de modulación están lo suficientemente separadas y, de ser así, puede demodular y recuperar la señal A y la señal B que son más o menos iguales que la primera y la segunda señal originales; y averiguar el contenido de frecuencia de la señal A y la señal B, pero es imposible saber si la primera señal va con la señal A y la segunda señal va con la señal B, o viceversa.

Por otro lado, si todo lo que sabe es que las señales originales eran audio en el rango auditivo humano, y luego simplemente se sumaron (o si cada una fue modulada en AM aproximadamente a la misma frecuencia y luego se sumó), es bastante mucho imposible separarlos. Puede averiguar el contenido de frecuencia de la señal combinada mirando el espectro, la transformada de Fourier de la señal combinada. Si tiene suerte y las señales no se sincronizaron entre sí, puede obtener información sobre el contenido de frecuencia de las dos señales originales. Cuando vea frecuencias "silenciosas" en la señal combinada, tanto la primera como la segunda señal deben ser silenciosas en esa frecuencia. Cuando vea frecuencias "fuertes" en la señal combinada, la primera o la segunda señal deben estar produciendo esa frecuencia. Pero sin más información, es imposible saber si esa frecuencia "fuerte" esproducido únicamente por la primera señal, o únicamente por la segunda señal, o por ambas señales, la primera y la segunda.

Si ejecuta una transformada de Fourier durante un período de muestreo finito que no es un número entero de períodos de señal, experimentará una distorsión espectral, ya que lo que realmente está haciendo es tomar la transformación de la señal de entrada convolucionada con su apagado/encendido por un -ventana de muestreo while/off-again. Esto le dará la transformación de la señal de entrada multiplicada por la transformación de la ventana de muestreo rectangular, que es una función de sincronización ((sin x)/x).

Para evitar tal distorsión en el dominio de la frecuencia, es común multiplicar los datos de muestra de entrada por una función de ventana, que tiene el efecto de "desvanecer" la señal hacia adentro y hacia afuera gradualmente para evitar las distorsiones causadas por el comienzo y final abruptos del muestreo. Hay varias funciones de ventana con ventajas y desventajas; uno simple es (cos x) + 1 escalado al periodo de muestreo.