¿Por qué una señal que es finita en el dominio del tiempo es infinita en el dominio de la frecuencia?

Muchos textos prueban que una señal no puede ser a la vez limitada en el tiempo y en la banda. Es un resultado bastante profundo y depende de un análisis complejo, pero la prueba más corta que conozco comienza con una señal de banda limitada.$f(t)$. Es sencillo mostrar a partir de la transformada de Fourier que ser de banda limitada significa que$f(t)$es analítico en todo el plano complejo, por lo tanto, si desaparece en cualquier intervalo (por ejemplo,$f(t) = 0 \mathrm{~for~} t>T$), luego desaparece por todas partes. Por lo tanto, una señal de banda limitada no puede estar limitada en el tiempo. Lo contrario es idéntico. Encontrará este material en textos más rigurosos (por ejemplo, Papoulis).

Un argumento más manual sería que si tiene un límite de banda, entonces no lo cambia multiplicando el espectro por una ventana rectangular, por lo tanto, no lo cambia en el dominio del tiempo convolucionando con un$\mathrm{sinc}$función: esto tiende a extenderlo fuera de cualquier ventana de tiempo en la que suponga que está contenido.

Su pregunta también toca discontinuidades y pendientes. Hay una gran cantidad de resultados útiles sobre la tasa de caída en función del nivel de discontinuidad. De memoria, una función con discontinuidades escalonadas tiene un espectro que cae en$\frac{1}{f}$, una función continua con discontinuidades escalonadas en la primera derivada queda como$\frac{1}{f^2}$etcétera. Cuanto más suave sea la función (derivadas más continuas), más rápida será la caída del espectro, pero también más dispersa en el tiempo.

Algunos problemas pueden beneficiarse de algunas de las matemáticas serias que existen. Por ejemplo, dado que una señal debe estar restringida a un determinado ancho de banda, ¿qué forma de onda concentra la mayor parte de la energía de la señal en un determinado intervalo de tiempo? La solución a esto son las funciones esferoidales alargadas; consulte el libro Signal Analysis de Papoulis.

¿Por qué una señal de banda única limitada en frecuencia tiene un dominio de tiempo infinito?

La suposición aquí es que si el tiempo fuera limitado, podría tener una discontinuidad y, por lo tanto, un tiempo de subida infinito si las muestras son ideales.

Pero este no es el caso en sistemas reales con BW limitado, por lo que se supone que es de "estado estable".

Por lo tanto, en el caso normal, cuando se analiza un sistema con límites de tiempo y límites de ancho de banda, ignoramos cualquier discontinuidad al final del "estado estable".

Esto es análogo a un filtro de paso bajo simple con una función de escalón unitario aplicada. En teoría el paso puede ser infinito o de tiempo de subida finito y la exponencial nunca alcanza el voltaje unitario, pero en términos prácticos con tolerancias, la duración del experimento puede detenerse en 10 T=10RC.

En este punto = 10 T, el error residual es de aproximadamente 144 PPM y el dV/dt ha reducido el tiempo de subida y el ancho de banda del espectro o el tiempo de subida pico t = 0,115 %, por lo que podría capturarse con alta precisión con ~142x el BW de -3 dB.

Entonces, en teoría, sí, no puede tener un tiempo limitado y un BW espectral de Fourier simultáneos, pero si tiene una tolerancia de error, puede tener ambos.

Solo para agregar a otras respuestas aquí, una forma concisa de establecer matemáticamente con precisión esta propiedad es decir que " la transformada de Fourier de una función L ^ 2 con soporte compacto en R ^ n es holomorfa, entonces --- si no es cero --- es nunca apoyado de forma compacta ". Esta es una parte del teorema de Paley-Wiener en análisis funcional, que puede buscar para una prueba.