¿Por qué aparecen armónicos falsos cuando se usan ventanas de ponderación?

Según tengo entendido, las ventanas en la FFT se pueden usar para reducir el error de fuga.

Supongamos que necesito muestrear una señal sinusoidal de tiempo continuo s(t) con frecuencia F = 10 H z . Suponga que la frecuencia de muestreo F s = 100 H z .

Suponga que se cumple la condición de muestreo síncrono, es decir METRO F = F s dónde METRO es el número de muestras con METRO = 10 . Entonces el espectro de la señal se ve así

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Esto es completamente correcto ya que la resolución de frecuencia es

F s METRO = 10 H z / b i norte
.

Ahora supongamos que usamos una ventana de Hamming (no hay necesidad de la ventana aquí, pero usémosla por el bien de mi argumento). La ventana de Hamming tiene un orden L=2, lo que significa que el ancho del lóbulo principal del espectro de la ventana es:

2 π METRO T s L = 2 π METRO T s 2

en radianes o

2 L METRO T s
en Hz.

Ahora, debido al ancho del lóbulo principal, al aplicar la ventana espero ver 2 armónicos falsos de igual amplitud en la DFT, que es exactamente lo que veo aquí abajo:

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Sin embargo, al duplicar el número de muestras a M' = 2M = 20 (ahora estamos muestreando 2 períodos) y el ancho del lóbulo principal de la ventana debería ser

2 π METRO ′ T s L = 2 π 2 METRO T s 2 = 2 π METRO T s

que es exactamente el ancho del lóbulo principal de una ventana rectangular. Esta vez, en la DFT no debería haber ningún componente falso y solo el componente real, sin embargo, claramente este no es el caso, como puede ver en esta última imagen:

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¿Por qué es este el caso? ¿No debería esta última imagen parecerse a la primera (es decir, contener sólo un componente en lugar de tres?).

En EE.SE, use \$para abrir y cerrar MathJAX en línea en lugar de solo $.

Respuestas (3)

Entiendes eso

  • el FT de una función sinc() es un pulso rectangular (y viceversa)?
  • la multiplicación en el dominio del tiempo es equivalente a la convolución en el dominio de la frecuencia (y viceversa)?

¿Puedes ver ahora por qué obtienes ese resultado?

No sabía el primer punto, pero sabía el segundo, que es exactamente por qué hice la pregunta. Al hacer la convolución, no entiendo por qué aparecen los armónicos falsos. Debería aparecer, como se esperaba en la segunda imagen, pero no entiendo por qué aparecen en la tercera. Habiendo duplicado (en este caso) el intervalo de observación debería tener en cuenta el ancho del lóbulo principal de la ventana, ¿no es así?
No, no lo hace. Recuerde, debe imaginar que el conjunto de muestras en el dominio del tiempo se repite infinitamente en ambas direcciones. ¿Cuál es el contenido de frecuencia de la señal resultante? Claramente está modulando en amplitud la onda sinusoidal original a la mitad de su frecuencia, por lo que no debería sorprender en absoluto ver aparecer bandas laterales en el desplazamiento apropiado de la "portadora".
Cualquier tipo de función de ventana producirá este tipo de "difusión" de los picos en la representación del dominio de la frecuencia. La clave es elegir una ventana que minimice los tipos de distorsión que más le interesan en una aplicación en particular. También es por eso que, cuando está muestreando ciclos completos de una señal de forma sincrónica, NO desea utilizar una función de ventana.
No pensé en ello en términos de modulación de amplitud. Esto comienza a tener más sentido ahora... déjame intentar hacer algunas simulaciones... mi libro sobre DSP me está llevando a través de una explicación que lleva a la conclusión que expliqué anteriormente y, francamente, es un poco confuso.

Esas señales adicionales no son 'armónicos falsos', son 'propagación de ventana'.

Cada vez que multiplica su forma de onda de entrada por una función de ventana, convoluciona su espectro ideal por el espectro de la ventana, lo que extiende el lóbulo principal.

En el caso de una ventana de Hamming, la distribución del lóbulo principal siempre es +/-1 bin.

Las funciones de ventana se eligen para tener espectros que tengan buenas propiedades, generalmente un lóbulo principal estrecho (compacto) y lóbulos laterales bajos. En su caso, con el muestreo síncrono, no verá el comportamiento del lóbulo lateral. Al evaluar el rendimiento de las ventanas, generalmente usamos una señal entre las frecuencias de los contenedores, por lo que tenemos n+0,5 ciclos en el dominio del tiempo, para excitar al máximo el derrame de frecuencia no deseado en otros contenedores. O mejor aún, n+0.3, por lo que los lóbulos laterales son asimétricos y no (erróneamente) nos llevan a creer que las cosas son siempre iguales cuando sucede que lo son.

La ventana de Hamming pertenece a una clase de las denominadas ventanas de "suma de cosenos", que tiene una extensión de lóbulo principal de exactamente +/- 1 contenedor. Mientras experimenta, busque también la ventana Blackman, que se extiende +/- 2 contenedores, y Blackman-Harris, que se extiende +/- 3 contenedores. Con el muestreo síncrono y sin lóbulos laterales, no vería ninguna ventaja en estas otras ventanas, solo un lóbulo principal más ancho. Con una frecuencia no entera, vería que suprimen los lóbulos laterales mucho mejor (más de 60 dB y 90 dB respectivamente). Mucho mejor, de hecho, necesita cambiar de una escala de amplitud lineal a una logarítmica (dB) para ver la diferencia.

Diferentes aplicaciones valoran el lóbulo principal angosto o las bandas laterales bajas de manera diferente, por lo que hay una selección de ventanas para elegir. Además de las ventanas mencionadas anteriormente, Gaussian y Kaiser-Bessel son otras de las más populares. Además de diseñar mi propia ventana de suma de cosenos de +/- 4 bin spread (-120dB lóbulos laterales), nunca he encontrado la necesidad de usar nada más que lo que se menciona aquí.

Los armónicos falsos aparecen si su señal de tiempo no se repite exactamente en la ventana de muestreo. Y eso requiere que cualquier componente también se repita exactamente en la ventana de muestreo. Por lo tanto, la ventana 1us para onda cuadrada de 10 MHz, con un tono de RF de 313,13 MHz sobre la onda cuadrada, tendrá un alias del tono de 313,13 MHz.

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