Transformaciones de simetría en un sistema cuántico; Definiciones

Question

Transformaciones de simetría en un sistema cuántico; Definiciones

Sigma Alfa

Definimos una transformación de simetría de un sistema como cualquier transformación que, cuando se realiza, no cambia el resultado de una medición. El teorema de simetría de Wigner dice que cualquier simetría de un sistema cuántico está representada por un operador lineal y unitario que actúa sobre el espacio de estados físicos de Hilbert. $\mathscr{H}$ . Así que para cualquier simetría $\mathscr{E}$ corresponde una transformación unitaria $\mathcal{U}(\mathscr{E})$ actuando $\mathscr{H}$ .

Suponer $\hat{A}$ es el operador hermitiano correspondiente a algún observable $A$ que tiene valor propio $\lambda\in\mathbb{R}$ con vector propio $|\Phi\rangle$ . Entonces, si el sistema está en un estado $|\Psi\rangle$ , la probabilidad de medir el valor $\lambda$ de lo observable $A$ viene dada por la regla de Born;

\begin{aligned} problema (λ, \hat{A}, Ψ) = \frac{| ⟨ Φ | Ψ ⟩ |^{2}}{⟨ Ψ | Ψ ⟩ ⟨ Φ | Φ ⟩} . \end{aligned}

$\begin{align} \text{Prob}(\lambda,\hat{A},\Psi)=\frac{|\langle\Phi|\Psi\rangle|^2}{\langle\Psi|\Psi\rangle\langle\Phi|\Phi\rangle}~. \end{align}$ Definimos una simetría de un sistema cuántico como aquella que conserva las probabilidades anteriores. Sin embargo, cualquier operador unitario

\tilde{U}

$\tilde{\mathcal{U}}$ actuando

H

$\mathscr{H}$ preservará estas probabilidades;

\begin{aligned} problema (λ, \hat{A^{'}}, Ψ^{'}) = \frac{| ⟨ \tilde{tu} Φ | \tilde{tu} Ψ ⟩ |^{2}}{⟨ \tilde{tu} Ψ | \tilde{tu} Ψ ⟩ ⟨ \tilde{tu} Φ | \tilde{tu} Φ ⟩} = \frac{| ⟨ Φ | {\tilde{tu}}^{†} \tilde{tu} Ψ ⟩ |^{2}}{⟨ Ψ | {\tilde{tu}}^{†} \tilde{tu} Ψ ⟩ ⟨ Φ | {\tilde{tu}}^{†} \tilde{tu} Φ ⟩} = problema (λ, \hat{A}, Ψ) . \end{aligned}

$\begin{align} \text{Prob}(\lambda,\hat{A'},\Psi')=\frac{|\langle\tilde{\mathcal{U}}\Phi|\tilde{\mathcal{U}}\Psi\rangle|^2}{\langle\tilde{\mathcal{U}}\Psi|\tilde{\mathcal{U}}\Psi\rangle\langle\tilde{\mathcal{U}}\Phi|\tilde{\mathcal{U}}\Phi\rangle}= \frac{|\langle\Phi|\tilde{\mathcal{U}}^{\dagger}\tilde{\mathcal{U}}\Psi\rangle|^2}{\langle\Psi|\tilde{\mathcal{U}}^{\dagger}\tilde{\mathcal{U}}\Psi\rangle\langle\Phi|\tilde{\mathcal{U}}^{\dagger}\tilde{\mathcal{U}}\Phi\rangle}=\text{Prob}(\lambda,\hat{A},\Psi). \end{align}$ Esto implicaría que cualquier transformación unitaria actuando sobre

H

$\mathscr{H}$ corresponde a una transformación de simetría del sistema. Dudo que esto sea cierto, entonces, ¿dónde me equivoqué en mis definiciones y cómo lo rectifico?

Respuestas (1)

Transformaciones de simetría en un sistema cuántico; Definiciones

Valter Moretti · Answer 1

Hay muchas definiciones de simetría en la teoría cuántica. Sin embargo, su idea no es correcta: las simetrías, que actúan sobre los estados, cambian los resultados de las mediciones , al menos para un observable. De lo contrario, no estamos hablando de una simetría sino de una transformación de calibre .

En la formulación del espacio de Hilbert , y me ceñiré a este caso aquí, y en ausencia de reglas de superselección, una simetría es una operación biyectiva que conserva alguna estructura del espacio de los estados o del espacio de observables. Hasta donde yo sé, hay cuatro nociones y son las que se enumeran a continuación.

Simetría de Wigner : un mapa biyectivo del espacio de rayos (vectores unitarios hasta fases) al espacio de rayos que conserva las transiciones de probabilidad .
Simetría de Kadison : una aplicación biyectiva del espacio de estados (operadores de clase traza positivos con traza unitaria) que conserva las combinaciones lineales convexas de estados, es decir, conserva los pesos de las mezclas de estados puros.
Simetría de Kadison en formulación dual : un mapa biyectivo de la red de observables elementales (proyectores ortogonales en el espacio de Hilbert) en sí mismo conservando el ortocomplementado $\sigma$ -estructura de celosía completa. Es decir, conserva la estructura lógica de la teoría cuántica.
Simetría de Segal : un mapa biyectivo del conjunto de operadores autoadjuntos delimitados en todas partes definidos en el mismo conjunto que conserva la estructura del álgebra de Jordan de ese conjunto, es decir, conserva la estructura del conjunto de observables.

Cada una de estas definiciones puede estar motivada físicamente. Todas las definiciones conducen al mismo teorema de caracterización (para 3 y 4 el espacio de Hilbert debe ser separable con dimensión $\neq 2$ para aprovechar el teorema de Gleason).

Teorema [Wigner-Kadison-Segal] . Una simetría de tipo 1-4 se describe por un unitario o antiunitario (dependiendo de la simetría si el espacio de Hilbert tiene dimensión $>1$ de lo contrario, se permiten ambas posibilidades). Todo operador unitario o antiunitario define una simetría de tipo 1-4 simultáneamente.

Una simetría fundamental en función del tiempo y continua con respecto a la topología natural (dependiendo del tipo 1-4), es la evolución temporal .

Una simetría de tipo 1-4 (también dependiente del tiempo) se dice que es una simetría dinámica si conmuta con la evolución temporal.

(En este punto, como más o menos todo el mundo sabe, surge un teorema similar al de Noether como consecuencia del teorema de Stone dado que, como supuse, el espacio de Hilbert es complejo).

Cuando las reglas de superselección entran en juego (es decir, el centro del álgebra de observables de von Neumann no es trivial), la imagen se vuelve más delicada y, por ejemplo, la noción de Wigner deja de ser una buena noción porque la misma noción de probabilidad de transición se vuelve ambiguo (los estados puros y los rayos no son uno a uno). El mismo problema surge cuando el álgebra de observables de von Neumann admite un conmutador no abeliano, como en la cromodinámica (incluso si el centro es trivial).

Consulte el Capítulo 7 en "Estructuras matemáticas fundamentales de la teoría cuántica" de Valter Moretti (Springer, 2019), y una referencia en el interior: B. Simon, Quantum Dynamics: From Automorphism to Hamiltonian. Estudios de física matemática, Ensayos en honor de Valentine Bargmann, ed. por EH Lieb, B. Simon, AS Wightman (Princeton University Press, Princeton, 1976), págs. 327–349
Esta es una respuesta interesante, ¿puede dar un ejemplo de una medida que cambie después de una transformación de simetría?
Actúa en estado puro con una traslación a lo largo del eje z de $a$ . Eso es una simetría. Todos los resultados de las mediciones de $Z$ en el nuevo estado son los resultados de los viejos estados traducidos de $a$ .

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