Transformaciones canónicas independientes del tiempo

El criterio de Lie nos dice que$(q,p) \to (Q,P)$es una transformación canónica, para un sistema con hamiltoniano$H$y "kamiltoniano"$K$, si y sólo si la identidad

$$\sum_k p_k dq_k -Hdt = \sum_k P_k dQ_k - Kdt + dF \tag{1}$$ está satisfecho, donde $F$es una función generadora adecuada. Todos los libros de texto que he consultado hasta ahora me dicen que si la transformación es independiente del tiempo, es decir $$\frac{\partial Q_k}{\partial t} = \frac{\partial P_k}{\partial t} = 0, \quad \forall k, \tag{2}$$ entonces podemos elegir $F$tal que $$\frac{\partial F}{\partial t} =0, \quad \text{and thus} \quad K = H. \tag{3}$$ Sin embargo, aún no he encontrado una explicación completa de por qué exactamente debería ser así, y me está costando determinar los pasos necesarios, que, sin embargo, espero que sean muy triviales. ¿Cómo puede justificarse esto?

---

EDITAR: Después de reflexionar sobre ambas respuestas algún tiempo, podría haber encontrado una prueba de que$K = H$. Llevar$F = F_2(q,P,t)$como función generadora (segundo tipo): entonces para$k = 1,\dots,n$

$$\begin{cases} p_k = \dfrac{\partial F}{\partial q_k}, \\ Q_k = \dfrac{\partial F}{\partial P_k}, \\ K = H + \dfrac{\partial F}{\partial t}. \end{cases}$$ Diferenciando la última relación wrt $P_k$para algunos $k$y aplicando el lema de Schwarz se obtiene $$\frac{\partial^2 F}{\partial P_k \partial t} = \frac{\partial K}{\partial P_k} - \frac{\partial H}{\partial P_k} = \frac{\partial^2 F}{\partial t \partial P_k } = \frac{\partial Q_k}{\partial t} = 0$$ entonces obtenemos $$\frac{\partial K}{\partial P_k} = \frac{\partial H}{\partial P_k}. \tag4$$

Por argumentos similares, usando la función generadora$\tilde F = F_3(p,Q,t)$, se obtiene la identidad similar

$$\frac{\partial K}{\partial Q_k} = \frac{\partial H}{\partial Q_k}. \tag{5}$$ integrando $(4)$y aplicando la FTC obtenemos $$\int \frac{\partial K}{\partial P_k} dP_k = \int \frac{\partial H}{\partial P_k} dP_k \quad \implies K = H + c(Q,t), \tag{6}$$ donde hemos iterado la integración sobre $P_k$para todos $k = 1,\dots,n$para eliminar por completo la dependencia de $c$de $P$. diferenciando $(6)$bien $Q_k$rendimientos $$\frac{\partial K}{\partial Q_k} = \frac{\partial H}{\partial Q_k} + \frac{\partial c}{\partial Q_k},$$ que, en comparación con $(5)$, implica $$\frac{\partial c}{\partial Q_k} = 0 \quad \forall k, \quad \implies \quad c = c(t).$$ Por el "tercero" (o $(2n+1)$-th) relación para $F$, $$\frac{\partial F}{\partial t} = c(t),$$ de modo que $$F(q,P,t) = \Phi(t) + C(q,P),$$ dónde $\Phi$es tal que $d\Phi/dt = c$. Sin embargo, por el principio de variación, la $F$había que elegir de tal manera que $\delta F|_{t_1}^{t_2} = 0$, por dos veces consecutivas $t_1 < t_2$, por lo tanto debemos tener $$\delta F|_{t_1}^{t_2} = \delta \Phi|_{t_1}^{t_2} + \delta C|_{t_1}^{t_2} = \delta \Phi|_{t_1}^{t_2} = 0$$ Una de esas opciones de $\Phi$es la función que se desvanece idénticamente; en otras palabras, la nueva función $\hat F = F - \Phi$genera la misma transformación canónica que $F$(que se puede ver al diferenciar $\hat F$bien $q_k$y $P_k$). Esto completa la prueba.