Transformación unitaria en mecánica cuántica

Dado un espacio de Hilbert$H$y dos vectores$u,v\in H$hay un unitario$u\in B(H)$que mapas$u$sobre$v$. Tome el operador de rango 1$\theta_{u,v}$definido como

$$\theta_{u,v}(z) = \frac{(v,z)}{(v,v)}u,\qquad\forall z\in H$$ que define una isometría parcial extensible a una unitaria sobre el conjunto de $H$.

El problema que tiene con el espacio de Fock es que se está restringiendo a una representación unitaria de un grupo de simetría, por ejemplo, el grupo de Poincaré. Entonces, ninguna transformación unitaria de esta representación puede cambiar el contenido de partículas de un estado, lo que luego da una descomposición del espacio de Fock en subespacios invariantes. Por otro lado, si consideras el álgebra generada por el operador de campo seguramente puedes encontrar unitarios que son capaces de crear/aniquilar partículas, entrelazándose así entre los diferentes subespacios.

Sin embargo, no existe una transformación unitaria que conecte dos estados de Fock diferentes$|m\rangle$y$|n\rangle$.

Eso no es cierto. Siempre hay una transformación unitaria que mapea entre dos estados normalizados dados. Efectivamente e infinidad de ellos. En su ejemplo, tome los estados numéricos$|0\rangle,\,|1\rangle,\,|2\rangle,\,\cdots$como vectores base para su espacio de estado cuántico. Entonces la matriz con elementos

$$U_{j\,k} = \delta_{j\,n} \delta_{k\,m} + \delta_{j\,m} \delta_{k\,n} + (1-\delta_{j\,n})(1-\delta_{j\,m})(1-\delta_{k\,n})(1-\delta_{k\,m})\delta_{j\,k}\tag{1}$$

mapeará cualquier estado:

$$\alpha_0\,|0\rangle+\alpha_1\,|1\rangle+\cdots +\alpha_n\,|n\rangle + \cdots +\alpha_m\,|m\rangle + \cdots$$

a:

$$\alpha_0\,|0\rangle+\alpha_1\,|1\rangle+\cdots +\alpha_m\,|n\rangle + \cdots +\alpha_n\,|m\rangle + \cdots$$

es decir , intercambia los pesos de superposición de los estados base$|n\rangle$y$|m\rangle$y, en particular, mapas$|n\rangle$a$|m\rangle$y al contrario.

Si tiene problemas para visualizar mi ecuación (1), es simplemente esto: es la matriz de identidad aparte de la$1$en la posición$(m,\,m)$en la identidad se desplaza a la posición$(m,\,n)$en la matriz$U$; igualmente el$1$en la posición$(n,\,n)$en la identidad se desplaza a la posición$(n,\,m)$.

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Para extender la isometría parcial en la Respuesta de Phoenix87 , trabaje conceptualmente de la siguiente manera. Dejar$\hat{X}$ser el vector al que desea mapear$Y$. ahora calcula

$$\hat{Y}_\perp=\frac{\frac{Y}{\|Y\|}-\frac{\langle X,\,Y\rangle}{\|Y\|\,\|X\|}\,X}{\|\frac{Y}{\|Y\|}-\frac{\langle X,\,Y\rangle}{\|Y\|\,\|X\|}\,X\|}$$

de modo que$\hat{X}$y$\hat{Y}_\perp$son una base ortogonal para el subespacio lineal generado por$X$y$Y$. Ahora use el proceso de Gram Schmidt para encontrar una base ortonormal$\hat{X}_3,\,\hat{X}_4\,\,\cdots$para el complemento ortogonal de este lapso (me refiero a imaginar el algoritmo trabajando para mostrar que la base existe, no literalmente haciéndolo a mano, ¡lo cual es imposible para un espacio de Hilbert de dimensión infinita!). En esta base, su original$Y$es$\langle Y,\,\hat{X}\rangle \hat{X} + \langle Y,\,\hat{Y}_\perp\rangle \hat{Y}_\perp =\stackrel{def}{=}y_x\,\hat{X}+y_y\,\hat{Y}_\perp$. La nueva base completa es$\hat{X},\,\hat{Y}_\perp,\,\hat{X}_3,\,\hat{X}_4\,\,\cdots$

Ahora, la matriz para su mapeo con respecto a esta nueva base es la matriz de identidad aparte de la$2\times2$submatriz superior derecha. Este$2\times2$submatriz superior derecha unitaria es:

$$\left(\begin{array}{cc}y_x&-y_y^*\\y_y&y_x^*\end{array}\right)$$

y el resto de su operador es el mismo que para la matriz de identidad. Ahora transforma esta matriz$M$volver a la base original por$M\mapsto T\,M\,T^\dagger$dónde$T$es la transformación de la base original a la encontrada por el proceso de Gram-Schmidt.