Transformación unitaria de estados propios

No estoy seguro de lo que quieres decir con "$a$y$b$son únicos ” pero claramente si$A=UBU^\dagger$y$U$es unitario,$A$y$B$tienen los mismos valores propios, pero eso no significa$U$no hace nada

Por ejemplo, las matrices de Pauli$\sigma_{x,y,z}$todos tienen los mismos valores propios, están relacionados por una transformación unitaria$U$, pero ciertamente son diferentes. La transformación$U$es un cambio de base, por lo que si$B$es inicialmente diagonal, digamos

$$B=\sigma_z=\left(\begin{array}{cc} 1&0 \\ 0&-1\end{array}\right)$$ y $U=\left(\begin{array}{cc} \cos\theta/2&-\sin\theta/2\\ \sin\theta/2 &\cos\theta/2\end{array}\right)$entonces $$U\sigma_zU^{\dagger}=\cos\theta\sigma_z+\sin\theta \sigma_x$$ todavía tiene valores propios $\pm 1$pero obviamente $U$ha hecho algo
Por supuesto, los estados propios ya no son $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$y $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$.

Interpreto su afirmación de unicidad como el requisito de que

cada espacio propio de cualquiera$A$y$B$tiene dimensión$1$.

Así que si$a$es un valor propio de$A$y$A|a\rangle =a|a\rangle$, para$|a\rangle \neq 0$, entonces cualquier otro vector propio con el mismo valor propio$a$es de la forma$c|a\rangle$para cada$c\in \mathbb C$,$c\neq 0$. Si consideramos solo vectores propios normalizados ,$c$es de la forma$e^{i \theta}$para cada$\theta \in \mathbb R$.

Suponiendo que los espectros de dichos operadores son espectros de punto puro , tenemos las descomposiciones espectrales (la suma se entiende en la topología de operador fuerte, pero aquí es bastante irrelevante y puede interpretar con seguridad todo lo siguiente a nivel algebraico)

$$A = \sum_{a \in {\cal A}} a |a\rangle\langle a| \tag{1}$$ y $$B = \sum_{b\in {\cal B}} b |b\rangle\langle b| \:.$$ donde usé valores propios normalizados y ${\cal A}=\sigma(A)$, ${\cal B}=\sigma(B)$(hasta los puntos de acumulación) son los espectros de los operadores.

Por otro lado

$$A = UBU^\dagger$$ implica $$\sum_{a \in {\cal A}} a |a\rangle\langle a| = \sum_{b \in {\cal B}} b U|b\rangle\langle b|U^\dagger\:.$$ Eso es $$A= \sum_{b \in {\cal B}} b|\psi_b\rangle \langle \psi_b|\tag{2}$$ dónde $$|\psi_b\rangle := U|b\rangle\:.$$

El resultado crucial es ahora que

para un operador autoadjunto dado (con espectro puntual) la descomposición espectral es única .

Así, comparando (1) y (2) concluimos que

(i)${\cal A}= {\cal B}\:,$

para que podamos reorganizar la descomposición de$A$como esto

$$A= \sum_{a \in {\cal A}} a|\psi_a\rangle \langle \psi_a|\:,$$

(ii)$|a\rangle \langle a| = |\psi_a\rangle \langle \psi_a|$de modo que, dado que todo vector está normalizado

$$|\psi_a\rangle = e^{i\theta_a}|a\rangle\quad \mbox{for some $\theta_a \in \mathbb R$}\:.$$ no hay manera de determinar las fases $e^{i\theta_a}$, ya que los vectores propios normalizados están definidos hasta una fase, pero somos libres de arreglarlos todos $e^{i\theta_a}=1$.

Hago hincapié en que (i) y (ii) son lo máximo que puede obtener de la información inicial a su disposición que los espacios propios son unidimensionales y que la equivalencia unitaria$A=UBU^\dagger$sostiene

ves eso$U$tiene una acción (es falso que "en realidad no hace nada"). De hecho, cambia los vectores propios , pero deja fijo el espectro de los operadores.

Descartando las hipótesis de los espacios propios unidimensionales pero manteniendo la solicitud del espectro puntual puro, (i) sigue siendo válido en vista de la unicidad de la descomposición espectral, que ahora dice

$$A = \sum_{a \in {\cal A}} a P_a$$ dónde $P_a = \sum_{k=1}^{\dim E_a} |a,k\rangle \langle a,k|$es el proyector ortogonal sobre el espacio propio $E_a$de $A$con valor propio $a$y los vectores $|a,k\rangle$, variar $k=1,\ldots, \dim E_a$, forman una base ortonormal de ese espacio propio.

Bueno, una transformación de similitud para un operador invertible (no necesariamente unitario)$^1$ $U$ cambia genéricamente los espacios propios pero no cambia el espectro de valores propios$\{a_1, a_2,\ldots, \}=\{b_1,b_2,\ldots\}$. Por lo tanto, sería inconsistente afirmar que todos los valores propios$\{a_1,a_2, \ldots, b_1,b_2,\ldots\}$para ambos$A$y$B$son diferentes, si eso es lo que OP quiere decir con eso, todos son únicos. Si los espectros individuales están degenerados o no, es irrelevante.

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$^{1}$Ignoraremos las sutilezas con operadores ilimitados , dominios, extensiones autoadjuntas , etc., en esta respuesta.