Transformación de tensores autoduales y antiautoduales e irreductibilidad de las representaciones

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Transformación de tensores autoduales y antiautoduales e irreductibilidad de las representaciones

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Estoy resolviendo el ejercicio 2.5 de El libro de Maggiore . Parte del ejercicio es el siguiente:

Verifique que los tensores autodual y anti-autodual son representaciones irreducibles de la dimensión tres (real) del grupo euclidiano $SO(4)$ , y verifique que la representación de seis dimensiones $A^{\mu\nu}$ de $SO(4)$ se descompone en sus partes autodual y anti-autodual.

Considere un tensor de antisimetría $A^{\mu\nu}$ . Los tensores autodual son tensores que satisfacen:

{\tilde{A}}^{m v} = \frac{1}{2} ϵ^{m v ρ σ} {\tilde{A}}_{ρ σ}

$\tilde A^{\mu\nu}=\frac{1}{2}\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\tilde A_{\rho\sigma}$

mientras que el anti-yo-dual es,

{\bar{A}}^{m v} = - \frac{1}{2} ϵ^{m v ρ σ} {\bar{A}}_{ρ σ}

$\bar A^{\mu\nu}=-\frac{1}{2}\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\bar A_{\rho\sigma}$

Podría mostrar eso (si a alguien le interesa le puedo poner el cálculo):

{\tilde{A}}^{' m v} = \frac{1}{2} ϵ^{m v ρ σ} {\tilde{A}}_{ρ σ}^{'}

$\tilde A'^{\mu\nu}=\frac{1}{2}\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\tilde A_{\rho\sigma}'$

es decir, el tensor $\tilde A'^{\mu\nu}$ se transforma de la misma manera $\tilde A^{\mu\nu}$ a $SO(4)$ transformación. (Del mismo modo para el anti-auto-dual). En otras palabras, un tensor autodual en un marco dado será un (anti) tensor autodual en un marco "rotado". El autor, en la solución, luego afirma:

Esto significa que los tensores autodual y anti-autodual son representaciones irreductibles de $SO(4)$ , y que en el espacio euclidiano un tensor antisimétrico real de seis dimensiones $A^{\mu\nu}$ se descompone en sus partes autodual y anti-autodual.

Mi pregunta es: ¿por qué es eso cierto? Para mí, mostrar que los tensores se transforman de la misma manera solo significa que si eran representaciones irreducibles antes de la transformación, siguen siendo representaciones irreducibles después de la transformación.

Si tengo razón, ¿cómo mostrar explícitamente que $\bar A^{\mu\nu}$ y $\tilde A^{\mu\nu}$ proporcionan representaciones irreducibles?

Gracias.

Respuestas (1)

Transformación de tensores autoduales y antiautoduales e irreductibilidad de las representaciones

TLDR · Answer 1

El resultado que describiste dice que la proyección del rango antisimétrico 2 $SO(4)$ tensores en subespacios autodual y anti-autodual conmuta con la acción de $SO(4)$ . Esto simplemente implica que el espacio de tensores antisimétricos de rango 2 de $SO(4)$ es reducible.

Para mostrar que los subespacios autodual y anti-autodual son en sí mismos irreducibles, piense en estos tensores de rango 2 como álgebras de Lie separadas y busque isomorfismos con $\mathfrak{su}(2)$ (recordar que $\wedge^2V$ se puede identificar con $\mathfrak{so}(4)$ , que se descompone en una suma directa).

Muchas gracias. Una pregunta más, por favor: ¿conoces una forma directa de mostrar la irreductibilidad de los subespacios? PD: que hace $\wedge^2V$ ¿significar?
Bien, la irreductibilidad es equivalente en este caso al hecho de que $\mathfrak{su}(2)$ es un álgebra de mentira simple. Entonces puede usar este hecho o probarlo nuevamente mapeando cualquier prueba que desee sobre la simplicidad de $\mathfrak{su}(2)$ a la irreductibilidad del yo/anti-yo-dual irreps de $SO(4)$ . También, $\wedge^2V=V\wedge V$ es solo un nombre para el espacio de tensores antisimétricos de rango 2 escrito en términos del producto de cuña (usado, por ejemplo, en formas diferenciales).

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