Transformación de simetría en Quantum Field

Me topé con este punto varias veces, siendo la última esta pregunta: Conexión entre la carga conservada y el generador de una simetría.

Quiero entender por qué los campos cuánticos se transforman bajo transformaciones de simetría como

( gramo ⋅ ϕ ) ( y ) = T gramo − 1 ϕ ( y ) T gramo = mi − t X ϕ ( y ) mi t X = [ 1 + t [ X , ⋅ ] + O ( t 2 ) ] ϕ ( y )

Dos ideas mías:

1) Los campos se tratan como operadores en la imagen de Heisenberg, y en lugar de transformar los estados con T gramo | X > , los estados permanecen como están y todos los operadores, incluidos los campos cuánticos, se transforman como T gramo − 1 O T gramo

2) Hay una buena razón por la cual los campos cuánticos viven en T mi , es decir, el espacio tangente a la identidad del grupo (= el álgebra de Lie), sobre el que actúa el grupo con la acción adjunta: A d gramo ( X ) = T gramo − 1 X T gramo ∀ X ∈ T mi

¡Cualquier idea o consejo de lectura sería genial!

Respuestas (1)

Tu idea 1) es la idea correcta: es solo la ley de transformación de matrices generalizada a partir de la transformación de matrices:

Si aplicamos una transformación lineal general tu : V → V en un espacio vectorial, las matrices/operadores en él se transforman como METRO ↦ tu † METRO tu

Para operadores unitarios tu † = tu − 1 , por lo que la ley de transformación se convierte en METRO ↦ tu − 1 METRO tu . Desde T gramo es la representación del grupo sobre nuestro espacio de estados, los campos cuánticos como operadores se transforman según esta ley.

no debería METRO transformar como
METRO → tu METRO tu − 1
de modo que
METRO | α ⟩ → ( tu METRO tu − 1 ) tu | α ⟩ = tu METRO | α ⟩
?
@vistazo: Siempre estoy un poco confundido por eso mismo, pero eso solo se mantendría si estuviéramos haciendo un cambio de base del espacio (entonces, el trafo también sería tu − 1 desde el comienzo). En cambio, cuando aplicamos una simetría, la implementamos en los estados como | ψ ⟩ ↦ tu | ψ ⟩ o en los operadores por METRO ↦ tu † METRO tu . Es básicamente lo mismo que cambiar entre la imagen de Schrödinger y la de Heisenberg.
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