Serie de Taylor para operador unitario en Weinberg

1. OP tiene un buen punto. en la expansión

   $$\begin{align}U(T(\theta)) ~=~& {\bf 1} + i\theta^a t_a + \frac{1}{2}\theta^a\theta^b t_{ab} + {\cal O}(\theta^3), \cr &\theta^a \in \mathbb{R},\qquad t_{ab}~=~t_{ba}, \end{align}\tag{2.2.17}$$ no está inmediatamente claro si$t_{ab}$es hermitiano como afirma Weinberg$^1$. En la ec. (2.2.17)$U$es una representación unitaria de un grupo de Lie$G$, cuyos elementos$T(\theta)\in G$están parametrizados por parámetros reales$\theta^a$. Más detalladamente, el producto del grupo $$T(\bar{\theta})T(\theta)~=~U(f(\bar{\theta},\theta)) \tag{2.2.15}$$ es capturado por funciones reales $$f^a(\bar{\theta},\theta)~=~\theta^a+\bar{\theta}^a + f^a{}_{bc} \bar{\theta}^b\theta^c+\ldots.\tag{2.2.19}$$ Esto lleva a $$t_{bc}~=~-t_bt_c -i t_a f^a{}_{bc}. \tag{2.2.21}$$ La combinación simétrica es $$2t_{bc}~=~-\{t_b,t_c\}_+ -i t_a \left(f^a{}_{bc}+f^a{}_{cb}\right),$$ entonces$t_{bc}$es hermítica si el último término desaparece, cf eq. (1') abajo.

2. La última ecuación de OP. (2) no es correcto. De la ec. (2.2.17), la condición de unitaridad

   $$U^{\dagger}U~=~{\bf 1}~=~UU^{\dagger}$$ rendimientos de segundo orden en$\theta$eso $$t^{\dagger}_a~=~t_a, \tag{1'}$$ y $$t^{\dagger}_{ab}+t_{ab}+\{t_a,t_b\}_+~=~0. \tag{2'}$$

Referencias:

1. S. Weinberg, Teoría cuántica de campos, vol. 1, 1995; ec. (2.2.17).

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$^1$Uno puede especular que Weinberg asume implícitamente que$T(-\theta)=T(\theta)^{-1}$de modo que$U(T(-\theta))=U(T(\theta))^{\dagger}$, lo que implica que$t_{ab}$es de hecho hermitiano.