¿Todos los puntos de equilibrio de un mapeo discreto aparecen en el diagrama de bifurcación?

La pregunta en el título quizás esté vagamente planteada, así que incluiré el ejemplo concreto que me está molestando.

Supongamos que tenemos un mapeo dado por

A partir de aquí se puede ver que hay 3 regímenes en los que puede estar el sistema, dependiendo del valor del parámetro$P$:

• Para valores bajos de$P$, el sistema tiene 2 puntos fijos (mostrado en 0 y en cca. 0.8)
• Para valores medios de$P$, el sistema tiene 4 puntos fijos (mostrado en 0,$A$,$B$y$C$)
• Para valores altos de$P$, el sistema tiene 2 puntos fijos nuevamente (mostrado en 0 y en cca. 0.03).

Me tomé la libertad de dibujar diagramas de telaraña para todos ellos (excepto$N=0$, que parece ser un punto fijo inestable para los valores dados), pero mostraré solo los importantes para mi pregunta:

1. Caso$P=0.235$, punto de partida$N_0<N_B$, 2048 iteraciones muestran que es un punto de órbita$C$.

2. Mismo caso, esta vez el punto de partida es$N_0>N_B$por lo que el sistema tiende hacia el punto$A$, pero mucho más rápido.

Esto parecía extraño al principio, así que decidí trazar el diagrama de bifurcación y el exponente de Lyapunov de los valores de$P$:

Diagrama de bifurcación (los puntos son bastante densos después de$P=0.4$, por lo que no es tan confiable para la comparación con el exponente de Lyapunov después de ese punto):

Exponente de Lyapunov:

La mayoría de las conclusiones que hice antes de dibujar esos 2 últimos diagramas se confirmaron, pero queda un problema: en el medio$P$régimen ($P=0.235$), el diagrama de bifurcación muestra que el sistema tiene solo un estado estable (el más alto, punto$A$), pero se niega a reconocer al otro ($C$), a pesar de que el diagrama de telaraña muestra que probablemente sea estable. No solo eso, el exponente de Lyapunov está alrededor de -2 para ese punto, y estoy bastante seguro de que el gráfico es preciso (está trazado para los primeros 1000 términos en la suma de Lyapunov, con un paso discreto de 1/10000).

Entonces, mi problema principal es: ¿El diagrama de bifurcación muestra todos los puntos de equilibrio a los que se puede acceder desde una multitud de puntos de partida para un valor dado del parámetro de bifurcación? En este caso, si el sistema aterrizó en$A$o$C$dependía únicamente de la condición inicial, a saber$N_0<N_B$o$N_0>N_B$.

Para los regímenes de período doble y caótico obtuve los diagramas de telaraña correctos (el sistema salta entre 2 puntos distintos y no se asienta en ningún punto, respectivamente), entre otras predicciones correctas, por lo que estoy convencido de que el error no está en mi codificación. Cualquier idea en este asunto sería muy apreciada.

EDITAR: siéntase libre de migrar esto a math.se si no lo encuentra apropiado. La pregunta surge de un problema de física, pero entiendo si se considera fuera de tema

EDIT#2: Como se sugirió, aquí está la versión ampliada del diagrama de bifurcación en el intervalo de$P=0.11$a$P=0.5$