¿Cuáles son los espacios de solución de las ecuaciones de Schrödinger no lineales?

Esta no es una pregunta sobre física. Como se ha subrayado en numerosas ocasiones aquí, las soluciones del NLS no pueden interpretarse como funciones de onda de la mecánica cuántica. Su evolución no es unitaria. Como consecuencia, el espacio de solución tiene mucha menos relevancia física.

El NLS cúbico que anotó aparece en varias aproximaciones a ondas dispersivas no lineales (incluidas KdV, perturbaciones no lineales de ondas de Klein-Gordon y ondas de agua); describe el perfil de modulación de paquetes de ondas de pequeña amplitud que varían lentamente.

La ecuación es hamiltoniana, con la ``energía'':

$\frac{1}{2}\int |\nabla \psi|^2\,\mathrm{d}x+\frac{\kappa}{4}\int|\psi|^4\,\mathrm{d}x$

y la masa

$\int |\psi|^2\,\mathrm{d}x$

como cantidades conservadas. Estas cantidades conservadas le permiten resolver la ecuación para todos los tiempos dados los datos iniciales en el espacio de Sobolev $H^1$(esto solo significa que las integrales de$|\nabla \psi|^2$y$|\psi|^2$son convergentes) en caso$\kappa > 0$o si$\kappa < 0$, siempre que la no linealidad sea lo suficientemente débil como para ser controlada por el término de gradiente para todos los tiempos. Esta última condición se puede expresar en términos de la incrustación de Sobolev. En la dimensión uno, se satisface para las no linealidades de potencia que son menores que la quíntica. Si la no linealidad es demasiado severa (por ejemplo, en una dimensión mayor que 2 para el caso cúbico sobre el que preguntó), las soluciones perfectamente buenas pueden explotar en un tiempo finito. En ese caso hablar de ``espacio solución'' no tiene mucho sentido ya que no podemos asociar uniformemente una evolución temporal a cada vector.

Los matemáticos se han esforzado mucho para resolver esta ecuación en varios espacios de funciones aproximadas. Como$H^1$, la mayoría de ellos resultan ser espacios de Hilbert, pero esto tiene poca relevancia física (y no mecánica cuántica). Es solo una cuestión de conveniencia.

Aunque el conjunto de soluciones de la ecuación no lineal de Schrödinger (NLS) no es un espacio de Hilbert y el campo$\psi$no puede interpretarse como una función de onda, esto no significa que el NLS no pueda cuantificarse. Puede si interpretamos$\psi$como un campo clásico.

En este caso, el espacio de soluciones o, de manera equivalente, el espacio de condiciones iniciales (configuraciones) (al considerar una solución de esta EDP como una evolución de una condición o configuración inicial) puede interpretarse como un espacio de fase clásico (Resulta que sea ​​una variedad simpléctica de dimensión infinita).

Es una propiedad bastante general que el espacio de soluciones o, de manera equivalente, el espacio de los datos iniciales de una amplia clase de ecuaciones diferenciales parciales es una variedad simpléctica. Esto sucede en la mecánica ordinaria. También en el caso de la ecuación lineal de Schrödinger o en teorías de campo que tienen ecuaciones de movimiento lineales, esta variedad simpléctica es el espacio proyectivo de Hilbert de (el espacio de Hilbert) de soluciones. Este punto constituye la principal respuesta a la pregunta y es común a las ecuaciones de Schrödinger lineales y no lineales.

No sólo eso, en el caso del NLE, la evolución de las configuraciones clásicas es hamiltoniana (es decir, la mitad de los parámetros pueden interpretarse como posiciones y la otra mitad como momentos). Hay elecciones de los parámetros iniciales que satisfacen relaciones de conmutación casi canónicas, como los parámetros de dispersión inversa. En este caso, la cuantificación se puede realizar de forma bastante sencilla.

La única diferencia entre este procedimiento y la conocida segunda cuantización del campo lineal de Schrödinger es que las soluciones del NLE dependen de forma no lineal de los parámetros iniciales. Por supuesto, se requirió una gran cantidad de ingenio para derivar estas soluciones.

Este principio se ha aplicado en otros casos de cuantización de teorías de campos no lineales como la teoría de Chern Simons.