Entender la ecuación del exponente de Lyapunov

$$\lambda= \lim_{n → \infty} \frac{1}{n} \sum\limits^{n-1}_{i=0} \log \left |f'(x_i) \right|$$

Cuando$n\rightarrow \infty$Creo que el exponente de Lyapunov,$\lambda$, debe ser cero debido a la$1/n$factor, entonces, ¿qué es lo que no estoy entendiendo?

No, el número de sumandos en tu suma va hacia$∞$tan rápido como tu$\frac{1}{n}$el factor va hacia$0$. por finito$n$(es decir, en la aplicación), la ecuación significa que obtienes tantos valores de$\left |f'(x_i) \right|$como puedas y promediarlos.

También me siento un poco confundido acerca de cuál es la variable del iterador,$i$, es. ¿Es el paso del tiempo?

Si por paso de tiempo se refiere al paso de tiempo de integrar un sistema de tiempo continuo (es decir, una ecuación diferencial), entonces está aplicando la fórmula incorrecta. (Aún así, la aplicación de esta fórmula debería darle algo diferente de$0$, pero no el exponente de Lyapunov.)

La fórmula anterior solo funciona para sistemas de tiempo discreto (es decir, mapas), cuyas iteraciones puede llamar pasos de tiempo.

Pero, ¿no debería el exponente de Lyapunov comparar trayectorias entre sí? ¿Cómo se incluyen en la ecuación?

Como se dijo anteriormente, la ecuación que está utilizando solo funciona para mapas que no tienen trayectorias. Supongamos que el estado actual de nuestro sistema es$x_i$y el estado perturbado es$x_i+ε$(con$ε≠0$por un cambio). La separación de su sistema perturbado de su sistema no perturbado en el próximo paso de tiempo es$f(x_i+ε) − f(x_i)$. Y el exponente "local" de Lyapunov$λ_i$– es decir, el punto de Lyapunov para el mismo punto$x_i$ - es:

En el último paso, usamos la definición misma de$f'$. (Para obtener el exponente de Lyapunov "global", solo promedie los locales).