si una ola$f(x,t)$es algo que satisface la ecuación de onda$Lf=0$dónde$L$es el operador diferencial$\partial_t^2-c^2\nabla^2$entonces, porque$L$es lineal, cualquier combinación lineal$\lambda f+\mu g$de soluciones$f$y$g$es de nuevo una solución:$L(\lambda f + \mu g)=\lambda Lf+\mu Lg=0$.

En general, puede haber cosas que se propaguen (no exactamente ondas, pero dado que la pregunta es para ondas de cualquier tipo) determinadas por otras ecuaciones diferenciales. Si la ecuación es de la forma$Lf=0$con$L$un operador lineal, se aplica el mismo argumento y se cumple el principio de superposición.

Como escribió coco, el principio de superposición proviene de la linealidad del operador involucrado. Este es el caso de la radiación electromagnética en el vacío. Las aproximaciones a las ondas de agua también son lineales (ya que es una aproximación) pero probablemente tendrán pequeñas partes no lineales. La teoría del campo cuántico libre también es lineal, por lo tanto, tiene un principio de superposición allí. Con interacciones y renormalización, creo que ya no es lineal.

La gravedad, tal como la describe la relatividad general, es altamente no lineal. Por lo tanto no tiene ningún principio de superposición. Las ondas gravitacionales no tienen un principio de superposición. Sin embargo, a distancias muy grandes estas ondas pueden aproximarse. Y entonces este operador podría ser lineal y razonablemente se puede volver a hablar de superposiciones.

La aproximación habitual a una onda,

No.

A pesar de lo que le dirán varias respuestas en este hilo, hay muchos fenómenos que merecen perfectamente el término "onda" que no satisfacen el principio de superposición. En lenguaje técnico, el principio de superposición se obedece siempre que la dinámica subyacente sea lineal . Sin embargo, hay multitud de situaciones que no obedecen a este supuesto.

Algunos ejemplos:

• Rompiendo olas en una playa: la dinámica subyacente de las olas en la superficie del agua es lineal cuando la amplitud es pequeña, pero esta suposición se rompe cuando la amplitud es comparable a la profundidad del agua.

  

  La experiencia diaria debería decirte que una ola más alta romperá más lejos de la orilla, mientras que una ola con menor amplitud romperá más cerca de la playa. Esto es evidentemente incompatible con el principio de superposición.

• Los solitones , que se basan en efectos no lineales para mantener su forma incluso en presencia de dispersión , y que aparecen como ondas en la superficie del agua y en fibra óptica, así como en dominios más esotéricos.

• La luz que se propaga en un material a intensidades suficientemente altas, momento en el que el efecto Kerr (es decir, una modulación no lineal del índice de refracción$n=n_0+n_2I$dependiendo de la intensidad$I$) se activará, lo que dará como resultado efectos útiles (como el modelado de lentes Kerr ) y dañinos (como un autoenfoque desbocado catastrófico ).

• En términos más generales, la óptica es solo lineal en el vacío (e incluso entonces, en algún momento comienzas a encontrarte con la producción de pares y la dispersión de luz). En presencia de medios, hay muchos fenómenos útiles que utilizan la respuesta no lineal de los materiales, cayendo en lo que se conoce como óptica no lineal .

  Esto va desde fenómenos perturbadores como la lente de Kerr y los procesos de mezcla de frecuencias como la generación de segundo armónico (como los empleados en los punteros láser verdes ) hasta procesos altamente no perturbadores como la generación de armónicos de alto orden , donde duplicar la intensidad puede cambiar drásticamente el espectro de los armónicos emitidos (es decir, casi el doble del corte de los órdenes armónicos que puede producir).

• Ondas de sonido que son lo suficientemente fuertes como para entrar en el régimen acústico no lineal , incluidos los estampidos sónicos, la levitación acústica y las imágenes de ultrasonido médico.

• Saltos hidráulicos , que se forman en todas partes, desde presas hasta pozos de marea y el fregadero de la cocina.

• La dinámica de onda no lineal de la mecánica cuántica de los condensados ​​de Bose-Einstein que obedecen a las ecuaciones de Gross-Pitaevskii y Schrödinger no lineal , y modelos relacionados.

• ... el último de los cuales, por cierto, también es útil para modelar el comportamiento no lineal en fibra óptica y en ondas de agua.

• Ahora que lo pienso, desde una perspectiva desde cero, toda la dinámica de fluidos es inherentemente no lineal. La primera aproximación es de hecho no lineal, pero muchos fenómenos están bien descritos por el siguiente paso, es decir, que incluye una no linealidad débil, lo que le da algo llamado ondas cnoidales .

podría seguir, pero entendiste el punto. Si lo desea, puede restringir el término "onda" a solo fenómenos que obedecen a dinámicas lineales. Sin embargo, si lo hace, está excluyendo explícitamente todos los fenómenos anteriores, y diría que eso no es realmente lo que queremos decir con el término.

Simplemente llamar a algo una "onda" no es suficiente para que una superposición de soluciones satisfaga la ecuación de onda gobernante. Al derivar ecuaciones de onda, la linealidad se logra al requerir oscilaciones de "pequeña amplitud", por lo que en la naturaleza, cuando se trata de grandes amplitudes, el principio de superposición no se cumple en general.

En realidad, ninguno de ellos satisface completamente la superposición. Primero, la superposición requiere linealidad, y la linealidad no es perfecta en la mayoría de los casos. Incluso en el caso de las teorías lineales, la teoría es sólo un modelo y tiene sus fronteras.

Por ejemplo, las ecuaciones de Maxwell son lineales y, por lo tanto, las ondas de luz se superponen. Si cruzas dos rayos láser, se atraviesan totalmente sin ningún cambio. Pero:

• Si los rayos son lo suficientemente fuertes como para inducir la producción de pares, ya no es cierto.
• Si los haces tienen suficiente tensor de masa-energía significativo para inducir efectos relativistas generales, se afectarán entre sí gravitacionalmente (lo cual es bastante interesante, por ejemplo, puede ser incluso repulsivo).

Por supuesto, ninguno de estos efectos es lo suficientemente fuerte como para ser inducido por un puntero láser.

Las ondas lineales son en su mayoría solo una aproximación: tan pronto como se presenta algo de no linealidad, la linealidad se rompe y la superposición ya no es cierta. De hecho, normalmente obtienes la producción de armónicos más altos. La mayoría de los casos que involucran materia tienen al menos algo de no linealidad que se vuelve más pronunciada en amplitudes más grandes.

Las ecuaciones de Maxwell dan lugar a una ecuación de onda perfectamente lineal en el vacío, pero en la materia tiene efectos no lineales, como el efecto Kerr . La óptica no lineal hace uso de eso: para haces de autoenfoque, generación de armónicos más altos (la duplicación de frecuencia para láseres se usa en algunos punteros láser para producir verde a partir de infrarrojos).

Las olas de agua son ejemplos muy conocidos que no son lineales (basta con mirar la forma de la ola cambiando y cayendo sobre sí misma cuando llega a la orilla).

Para las ondas de sonido en los gases, la no linealidad se hace evidente cuando la presión del sonido se vuelve comparable a la presión ambiental (lo que significa que las partes de baja densidad de la onda de sonido están cerca del vacío), e incluso antes de eso, ya que la ley de los gases ideales ya no se cumple. . La no linealidad puede conducir a la formación de ondas de choque.

En general: cualquier respuesta no lineal del medio sobre el desplazamiento tendrá como consecuencia:

• la superposición ya no se sostiene
• dependencia del comportamiento (frecuencia, velocidad de propagación) de la amplitud
• las ondas sinusoidales armónicas no mantendrán su forma con el tiempo
• se producirán armónicos más altos
• la onda interfiere consigo misma a través de la no linealidad y, como tal, altera su dirección/forma/frecuencia