Estado superpuesto frente a estado de amplitud cero

No creo que sea realmente posible tener una interferencia destructiva completa en todas partes en la mecánica cuántica (a menos que el estado con el que comenzó tenga amplitud cero). La función de onda de una partícula contiene toda la información sobre esa partícula, incluido todo lo necesario para calcular lo que hará en el futuro. Esto significa que una onda que se propaga a la derecha tiene una función de onda diferente a una onda que se propaga a la izquierda , por lo que no pueden interferir de forma totalmente destructiva.

Esto es posible porque la función de onda es una función de valor complejo. Podemos escribir esto como

$$\begin{equation} \psi(x,t) = R(x,t)e^{\imath\,\theta(x,t)}\end{equation}$$ Dónde $R$y $\theta$son funciones de valor real. La magnitud de la función de onda, $R$nos dice la probabilidad de encontrar la partícula en una pequeña región $$\begin{equation}P(x_0<x<x_0+\mathrm{d}x) = R(x_0,t)^2\mathrm{d}x\end{equation}$$ La fase $\theta$no nos dice nada directamente medible, pero se vuelve importante cuando estamos calculando cómo cambia la función de onda en el tiempo.

Por ejemplo, digamos que tenemos dos ondas planas que se propagan en diferentes direcciones

$$\begin{equation}\psi_r = e^{-\imath(\omega t - kx)} \end{equation}$$ propagándose a la derecha y $$\begin{equation}\psi_l = e^{-\imath(\omega t + kx)} \end{equation}$$ propagándose a la izquierda. Podemos corregir una superposición de estos estados como $$\begin{equation}\Psi = \alpha\psi_r + \beta\psi_l\end{equation}$$ Si elegimos decir $\alpha = \frac{1}{2}$, $\beta = -\frac{1}{2}$encontramos $$\begin{align} \Psi &= \frac{1}{2} \left( e^{-\imath(\omega t - kx)} - e^{-\imath(\omega t + kx)} \right)\\ &= \imath \sin(kx)e^{-\imath \omega t} \ne 0 \end{align}$$

En general, si las dos funciones de onda van a evolucionar de manera diferente en el futuro, deben tener diferentes fases complejas y, por lo tanto, no pueden interferir destructivamente en todas partes. Si lo hicieran, serían la misma función de onda, por lo que permanecerían igual para siempre, y tendrías una onda de amplitud 0.

Primero para empezar, y para ser claros, hablemos de una cadena macroscópica. Entonces podemos hablar de un sistema mecánico cuántico.

Para la cuerda macroscópica, el estado es más que solo la posición de cada pieza infinitesimal de la cuerda: también es el momento de cada unidad infinitesimal de la cuerda. Entonces, cuando observa el lugar donde ha habido una interferencia destructiva y comenta que no es diferente de una región donde no hay movimiento, está descuidando el impulso. Inmediatamente adyacente al punto de interferencia destructiva, la cuerda se mueve (en el caso más simple) en direcciones iguales y opuestas. Este no es el caso en la región donde no hay movimiento (por definición).

Lo mismo se aplica a los sistemas mecánicos cuánticos. Por lo general, hablamos de psi(x), que es solo una función de la posición, pero sabemos por la ecuación de Schrödinger y la transformada de Fourrier que podemos convertir esto en psi(p), la función de onda del impulso. Y lo mismo se aplica: si imagina una región "ancha" de función de onda de amplitud cero y la compara con un "nodo", un punto de amplitud cero, es análogo a la descripción de la cadena anterior.