Principio de superposición para oscilador accionado

Para un sistema lineal , el principio de superposición se cumple ya que, por definición , un sistema lineal tiene la siguiente propiedad:

(1) si$y_1$es la salida para la entrada$x_1$y

(2) si$y_2$es la salida para la entrada$x_2$entonces

(3) la salida es$ay_1 + by_2$para entrada$ax_1 + bx_2$

En otras palabras, la salida de una superposición de entradas es la superposición de las salidas asociadas.

Por lo tanto, si la ecuación diferencial de su sistema es lineal , por ejemplo, el oscilador armónico, el principio de superposición se cumple.

Entonces, ¿qué estás tratando de probar?

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Demostrar el principio de superposición para ecuaciones de movimiento lineales no homogéneas utilizadas para derivar el movimiento de un oscilador accionado. ¿Seguirá siendo aplicable si la fuerza sobre un oscilador fuera −kx2 en lugar de −kx?

Creo que esto está mal redactado. Por ejemplo, para la masa en un sistema de resorte (lineal), la fuerza sobre la masa debida al resorte es, según la ley de Hooke,$-kx$.

Una fuerza impulsora, por otro lado, estaría dada en función del tiempo:$F_d = f(t)$.

Entonces, la fuerza neta sobre la masa es la suma de la fuerza motriz y la fuerza del resorte,$F = f(t) - kx$, lo que conduce a una ecuación diferencial lineal :

$$m \ddot x +kx = f(t)$$

y así, el Principio de Superposición se cumple por definición .

Esto es fácil de demostrar suponiendo$f(t) = f_1(t) + f_2(t)$y$x(t) = x_1(t) + x_2(t)$e insertando en la ecuación diferencial.

Sin embargo, la forma en que leo el problema como se indica en su edición, es la fuerza restauradora, no la fuerza impulsora, que es$-kx^2$.

Si ese es el caso, la ecuación diferencial resultante es no lineal

$$m \ddot x +kx^2 = f(t)$$

y por lo tanto, el principio de superposición no se cumplirá ya que

$$(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + x_2^2 + 2x_1x_2 \ne x_1^2 + x_2^2$$