Beat frecuencia de superposición de tres ondas sinusoidales

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Beat frecuencia de superposición de tres ondas sinusoidales

ondas
Física
Matemáticas
superposición
sistemas lineales
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fantasmas_en_el_codigo

Básicamente tenemos la función

F (t) = pecado (2 π v_{1} t) + pecado (2 π v_{2} t) + pecado (2 π v_{3} t)

$f(t)=\sin(2π\nu_1 t)+\sin(2π\nu_2 t)+\sin(2π\nu_3 t)$

Dejar $T$ ser el período fundamental de $f(t)$ .

La frecuencia de batido se define como el número de picos de intensidad por unidad de tiempo para la onda resultante...

Lo que significa

F^{'} (t) = 0 = 2 π v_{1} porque (2 π v_{1} t) + 2 π v_{2} porque (2 π v_{2} t) + 2 π v_{3} porque (2 π v_{3} t)

$f'(t)=0 = 2π\nu_1 \cos(2π\nu_1 t) +2π\nu_2 \cos(2π\nu_2 t) +2π\nu_3 \cos(2π\nu_3 t)$

Esta ecuación también es periódica con periodo $T$ .

Entonces, la frecuencia de pulsación se puede definir como el número de raíces de $f'(t)=0$ dónde $t \in [0,T)$ dividido por t

¿Hay alguna forma sencilla de calcular esto? (No necesito una fórmula ... Un algoritmo simple también servirá)

¿Ayuda si las tres frecuencias son números naturales (porque ese suele ser el caso cuando se trata de problemas relacionados con el diapasón)?

Intenté considerar tres vectores de longitudes $\nu_1, \nu_2,\nu_3$ . Los vectores giran con velocidades angulares. $2π\nu_1,2π\nu_2,2π\nu_3$ .

Si las frecuencias son números naturales creo $T=1/\gcd (\nu_1,\nu_2,\nu_3)$

Ahora necesitamos encontrar el número de veces que el componente coseno de la suma vectorial de los vectores giratorios da cero.

Mi maestro tenía una forma extraña pero simple de hacer esto... Dijo que los 3 vectores deben ser paralelos, o 2 vectores paralelos y 1 antiparalelo, o los 3 vectores deben formar un triángulo.

No entendí completamente el método o el razonamiento detrás de él.

¿Existe realmente tal método?

granjero

Tu maestro estaba usando la idea de un fasor con los fasores girando a diferentes velocidades angulares. en.wikipedia.org/wiki/Phasor

fantasmas_en_el_codigo

@Farcher Tengo alguna idea sobre los fasores y los he estado usando para intentar resolverlo yo mismo. Lo que no entendí es la solución exacta a esta pregunta.

Saral

Latidos de onda - physicskey.com/40/wave-beats-and-doppler-effect

fantasmas_en_el_codigo

@Saral eso es solo por dos tiempos :( no relevante

Respuestas (2)

Beat frecuencia de superposición de tres ondas sinusoidales

Tu maestro estaba usando la idea de un fasor con los fasores girando a diferentes velocidades angulares. en.wikipedia.org/wiki/Phasor
@Farcher Tengo alguna idea sobre los fasores y los he estado usando para intentar resolverlo yo mismo. Lo que no entendí es la solución exacta a esta pregunta.
Latidos de onda - physicskey.com/40/wave-beats-and-doppler-effect

usuario107153 · Answer 1

Estoy bastante convencido de que el resultado es que puede que no haya una frecuencia de latido: la cosa puede ser aperiódica.

En particular, considere tres frecuencias, $f_1$ , $f_2$ , $f_3$ . Entonces es fácil saber cuál es la frecuencia de pulsación entre cualquier par de estos, y en particular

\begin{aligned} F_{1, 2} & = | F_{1} - F_{2} | \\ F_{1, 3} & = | F_{1} - F_{3} | \\ F_{2, 3} & = | F_{2} - F_{3} | \end{aligned}

$\begin{align} f_{1,2} &= |f_1 - f_2|\\ f_{1,3} &= |f_1 - f_3|\\ f_{2,3} &= |f_2 - f_3| \end{align}$

( $f_{i,j} = f_{j,i}$ por supuesto). Pero ahora necesitamos saber cuándo y si se repite la forma de onda combinada. Así que la forma de onda del latido $f_b(t)$ es algo como

F_{b} (t) = a pecado (2 π F_{1, 2} t) + b pecado (2 π F_{1, 3} t) + C pecado (2 π F_{2, 3} t)

$f_b(t) = a\sin(2\pi f_{1,2} t) + b\sin(2\pi f_{1,3}t) + c\sin(2\pi f_{2,3}t)$

y esto es periódico solo si hay un número $x$ tal que $x = lf_{1,2} = mf_{1,3} + nf_{2,3}$ para algunos $l,m,n \in \mathbb{N}$ . Y eso no es generalmente cierto. Entonces, en general, la forma de onda es aperiódica.

(Tenga en cuenta que esto sigue siendo cierto considerando cualquier par de frecuencias de latido, y una versión anterior de esta respuesta hizo eso).

granjero · Answer 2

El uso de fasores puede ser útil para ilustrar lo que sucede, pero para tres frecuencias que no son múltiplos simples entre sí, probablemente será más fácil un enfoque algebraico.

Para empezar, déjame usar el método fasorial para 2 frecuencias de $1.0\, \rm Hz$ y $1.1\, \rm Hz$ donde después de un segundo la fase entre los dos fasores cambia por $36^{\circ}$ como se ilustra a continuación.

Que como un gráfico de desplazamiento contra el tiempo parece con una frecuencia de pulsación de $0.1 \,\rm Hz$ .

Tres frecuencias es más difícil y he elegido un ejemplo relativamente simple con las tres frecuencias, $1.0\, \rm Hz, \, 1.1\, \rm Hz$ y $1.2\, \rm Hz$

Lo que tu maestro te dijo que buscaras son adiciones del tipo que se muestra a continuación.

Si desea analizar grupos de frecuencias más complejos, podría ayudarlo si tiene WolframAlpha o algún paquete similar para trazar los gráficos por usted como lo hice para las tres frecuencias que elegí.

Gracias, esos diagramas al final son exactamente de lo que estaba hablando. Sin embargo, en realidad no ha proporcionado un método para encontrar la frecuencia del pulso... ¿Significa eso que no existe un método simple para hacerlo?
@ghosts_in_the_code Todo depende de los valores de las tres frecuencias y de cómo se relacionan entre sí. Por eso te sugiero que investigues más a fondo y veas cómo se puede hacer.
Intenté buscar en Google y resolverlo yo mismo, ambos fallaron, por lo tanto, lo publiqué aquí.
@ghosts_in_the_code Entonces, ¿qué has intentado hasta ahora?
Después de ver la respuesta de tfb, me doy cuenta de que podemos multiplicar y dividir la expresión de f(t) por 2, luego aplicar el resultado para la superposición de dos ondas por pares... Esto da la expresión $f_b (t)$ en la respuesta de tfb. Pero incluso eso no me ayuda a descubrir cómo calcular la frecuencia de pulsación. ¿Es la frecuencia de batido el MCM de las diferencias por pares de las frecuencias originales?

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usuario107153

granjero

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granjero

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