¿Se conserva realmente la carga eléctrica de la materia bosónica?

Question

¿Se conserva realmente la carga eléctrica de la materia bosónica?

Vacío

Incluso antes de la cuantificación, los campos bosónicos cargados exhiben una cierta "autointeracción". El cuerpo de esta publicación demuestra este hecho, y el último párrafo hace la pregunta.

Notación/ Lagrangianos

Permítanme primero proporcionar los Lagrangianos respectivos y dilucidar la notación.

Estoy hablando de QED escalar complejo con el Lagrangiano

L = \frac{1}{2} D_{m} ϕ^{*} D^{m} ϕ - \frac{1}{2} {metro}^{2} ϕ^{*} ϕ - \frac{1}{4} F^{m v} F_{m v}

$\mathcal{L} = \frac{1}{2} D_\mu \phi^* D^\mu \phi - \frac{1}{2} m^2 \phi^* \phi - \frac{1}{4} F^{\mu \nu} F_{\mu \nu}$ Dónde

D_{μ} ϕ = (\partial_{μ} + i e A_{μ}) ϕ

$D_\mu \phi = (\partial_\mu + ie A_\mu) \phi$ ,

D_{μ} ϕ^{*} = (\partial_{μ} - i e A_{μ}) ϕ^{*}

$D_\mu \phi^* = (\partial_\mu - ie A_\mu) \phi^*$ y

F^{μ ν} = \partial^{μ} A^{ν} - \partial^{ν} A^{μ}

$F^{\mu \nu} = \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu$ . También estoy mencionando QED habitual con el Lagrangiano

L = \bar{ψ} (i D_{m} γ^{m} - metro) ψ - \frac{1}{4} F^{m v} F_{m v}

$\mathcal{L} = \bar{\psi}(iD_\mu \gamma^\mu-m) \psi - \frac{1}{4} F^{\mu \nu} F_{\mu \nu}$ y "vector QED" (acoplamiento U(1) al campo Proca )

L = - \frac{1}{4} (D^{m} B^{* v} - D^{v} B^{* m}) (D_{m} B_{v} - D_{v} B_{m}) + \frac{1}{2} {metro}^{2} B^{* v} B_{v} - \frac{1}{4} F^{m v} F_{m v}

$\mathcal{L} = - \frac{1}{4} (D^\mu B^{* \nu} - D^\nu B^{* \mu})(D_\mu B_\nu-D_\nu B_\mu) + \frac{1}{2} m^2 B^{* \nu}B_\nu - \frac{1}{4} F^{\mu \nu} F_{\mu \nu}$

Las cuatro corrientes se obtienen del teorema de Noether . unidades naturales $c=\hbar=1$ son usados. $\Im$ significa parte imaginaria.

Noether corrientes de partículas

Considere la corriente de Noether del escalar complejo $\phi$

j^{m} = \frac{mi}{metro} ℑ (ϕ^{*} \partial^{m} ϕ)

$j^\mu = \frac{e}{m} \Im(\phi^* \partial^\mu\phi)$ introduciendo local

U (1)

$U(1)$ calibre que tenemos

\partial_{μ} \to D_{μ} = \partial_{μ} + i e A_{μ}

$\partial_\mu \to D_\mu=\partial_\mu + ie A_\mu$ (con

- i e A_{μ}

$-ieA_\mu$ para el complejo conjugado). La nueva corriente de Noether es

j^{m} = \frac{mi}{metro} ℑ (ϕ^{*} D^{m} ϕ) = \frac{mi}{metro} ℑ (ϕ^{*} \partial^{m} ϕ) + \frac{{mi}^{2}}{metro} | ϕ |^{2} A^{m}

$\mathcal{J}^\mu = \frac{e}{m} \Im(\phi^* D^\mu\phi) = \frac{e}{m} \Im(\phi^* \partial^\mu\phi) + \frac{e^2}{m} |\phi|^2 A^\mu$ De manera similar para un campo de Proca

B^{μ}

$B^\mu$ (bosón masivo de espín 1) tenemos

j^{m} = \frac{mi}{metro} ℑ (B_{m}^{*} (\partial^{m} B^{v} - \partial^{v} B^{m}))

$j^\mu = \frac{e}{m} \Im(B^*_\mu(\partial^\mu B^\nu-\partial^\nu B^\mu))$ que por el mismo procedimiento conduce a

j^{m} = \frac{mi}{metro} ℑ (B_{m}^{*} (\partial^{m} B^{v} - \partial^{v} B^{m})) + \frac{{mi}^{2}}{metro} | B |^{2} A^{m}

$\mathcal{J}^\mu = \frac{e}{m} \Im(B^*_\mu(\partial^\mu B^\nu-\partial^\nu B^\mu))+ \frac{e^2}{m} |B|^2 A^\mu$

Similar $e^2$ términos también aparecen en el propio Lagrangiano como $e^2 A^2 |\phi|^2$ . En cambio, para un bispinor $\psi$ (giro 1/2 fermión masivo) tenemos la corriente

j^{m} = j^{m} = mi \bar{ψ} γ^{m} ψ

$j^\mu = \mathcal{J}^\mu = e \bar{\psi} \gamma^\mu \psi$ Como no tiene ninguna

\partial_{μ}

$\partial_\mu$ incluido.

"Autocarga"

Ahora considere partículas que se mueven muy lentamente o incluso estáticas, tenemos $\partial_0 \phi, \partial_0 B \to \pm im\phi, \pm im B$ y la corriente es esencialmente $(\rho,0,0,0)$ . Para $\phi$ tenemos así aproximadamente

ρ = mi (| ϕ^{+} |^{2} - | ϕ^{-} |^{2}) + \frac{{mi}^{2}}{metro} (| ϕ^{+} |^{2} + | ϕ^{-} |^{2}) Φ

$\rho = e (|\phi^+|^2-|\phi^-|^2) + \frac{e^2}{m} (|\phi^+|^2 + |\phi^-|^2) \Phi$ Dónde

A^{0} = Φ

$A^0 = \Phi$ es el potencial electrostático y

ϕ^{\pm}

$\phi^\pm$ son las "partes de frecuencia positiva y negativa" de

ϕ

$\phi$ definido por

\partial_{0} ϕ^{\pm} = \pm i m ϕ^{\pm}

$\partial_0 \phi^\pm = \pm im \phi^\pm$ . Aparece un término similar para el campo Proca.

Para la interpretación volvamos a las unidades del SI, en este caso solo obtenemos un $1/c^2$ factor. La "densidad extra" es

Δ ρ = mi \cdot \frac{mi Φ}{metro C^{2}} \cdot | ϕ |^{2}

$\Delta \rho = e\cdot \frac{e \Phi}{mc^2}\cdot |\phi|^2$ Es decir, hay una densidad extra proporcional a la relación de la energía del campo electrostático

e Φ

$e \Phi$ y la masa restante de la partícula

m c^{2}

$mc^2$ . El signo de esta densidad adicional depende solo del signo del potencial electrostático y ambas partes de la frecuencia contribuyen con el mismo signo (lo cual es superextraño). Esto significaría que , clásicamente, la carga "desnuda" de los bosones en campos electromagnéticos fuertes no se conserva, solo se conserva esta carga generalizada .

Después de todo, parece una mala convención llamar $\mathcal{J}^\mu$ la corriente de carga eléctrica. Al multiplicarlo por $m(c^2)/e$ se convierte en una corriente de densidad de materia con el término adicional correspondiente a la masa ganada por la energía electrostática. Sin embargo, eso no cambia el hecho de que la "densidad de carga desnuda" $j^0$ parece no estar conservado para los bosones.

Ahora a las preguntas:

En un nivel teórico, ¿se viola la conservación de carga al menos temporalmente o virtualmente para los bosones en campos electromagnéticos fuertes? (La conservación de carga obviamente no se violará en la matriz S final, y como resultado $\mathcal{O}(e^2)$ efecto, probablemente no se reflejará en los procesos de primer orden.) ¿Existe una razón física intuitiva por la que tal violación no sea cierta para los fermiones, incluso en un nivel clásico?
Los bosones cargados no tienen una gran abundancia en las teorías fundamentales, pero a menudo aparecen en las teorías de campo efectivas. ¿Esta no conservación de "carga desnuda" se refleja de alguna manera en ellos y tiene fenómenos experimentales asociados?

Diego Mazón

He respondido a todas sus preguntas con todo detalle. ¿Qué no entiendes?

Respuestas (2)

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He respondido a todas sus preguntas con todo detalle. ¿Qué no entiendes?

qmecanico · Answer 1

Comentarios a la pregunta (v3):

En contraste con QED con materia fermiónica, en QED con materia bosónica, la corriente de Noether completa ${\cal J}^{\mu}$ (para transformaciones de calibre global) tiende a depender explícitamente del potencial de calibre $A^{\mu}$ , véase, por ejemplo, Refs. 1-2 y esta publicación de Phys.SE.
La razón de esta diferencia es que el Lagrangiano QED para la materia fermiónica (bosónica) normalmente contiene uno (dos) derivados del espacio-tiempo. $\partial_{\mu}$ , que después de un acoplamiento mínimo $\partial_{\mu}\to D_{\mu}$ conduce a, por ejemplo, ningún (a) término de acoplamiento materia-materia-fotón-fotón cuartico, respectivamente.
La corriente completa de Noether ${\cal J}^{\mu}$ es una cantidad de calibre invariante y conservada, $d_{\mu }{\cal J}^{\mu} \approx 0$ . [Aquí $d_{\mu}\equiv\frac{d}{dx^{\mu}}$ significa una derivada total del espacio-tiempo, y la $\approx$ símbolo significa igualdad módulo eom.] La carga eléctrica $Q=\int \! d^3x ~{\cal J}^{0}$ es una cantidad conservada.
Los únicos observables físicos en una teoría de medida son las cantidades invariantes de medida. La cantidad $j^{\mu}$ , que OP llama la "corriente desnuda", no es invariable en el calibre y, por lo tanto, no es un observable físico consistente para considerar.
Como Trimok menciona en un comentario, la situación de los Yang-Mills no abelianos (a diferencia de los abelianos) es radicalmente diferente. La corriente completa de Noether ${\cal J}^{\mu a}$ (para transformaciones de calibre global) es un conservado $d_{\mu }{\cal J}^{\mu a} \approx 0$ , pero ${\cal J}^{\mu a}$ no es invariante de calibre (o incluso covariante de calibre) y, por lo tanto, no es un observable físico consistente para considerar. No hay un observable bien definido para la carga de color que se pueda medir. Esto se sigue también del teorema de Weinberg-Witten (para el espín 1): una teoría con una simetría global no abeliana bajo la cual las partículas de espín 1 sin masa están cargadas no admite una corriente conservada invariante de calibre y de Lorentz, cf. Árbitro. 3.

Referencias:

M. Srednicki, QFT, Capítulo 61.
MD Schwartz, QFT y el modelo estándar, Sección 8.3 y Capítulo 9.
MD Schwartz, QFT y el modelo estándar, Sección 25.3.

Sí, algunas de estas son las observaciones que me llevan a esta pregunta. Pero supongamos que tenemos un material macroscópico con partículas bosónicas cargadas, lo sometemos a un campo electrostático muy fuerte y medimos su carga. Tendríamos que estar midiendo $\mathcal{J}^0$ en todas las condiciones? Supongo que 3. implica que sí, y eso significa que mediríamos el objeto para tener una carga diferente de la situación de campo cero. La carga adicional "no desnuda" obviamente proviene del campo, pero esta es una noción muy diferente de la intuición habitual de "carga".
${\cal J}^{\mu}$ es una cantidad covariante, entonces debe verificar $D_\mu {\cal J}^{\mu}=0$ , pero una cantidad conservada corresponde a $\partial_\mu {\cal J}^{\mu}=0$ . Entonces, aquí, ¿son las nociones compatibles actuales covariantes y conservadas? (por ejemplo, este no es el caso en las teorías de Yang-Mills).
1. No veo cómo responde esto a la pregunta de Trimok. ¿Podrías responderlo más explícitamente? 2. Además, su notación no es estándar: es su "derivada de espacio-tiempo total" $d_\mu$ diferente de la derivada parcial habitual $\partial_\mu$ ?
1. Ver el punto 5 en mi respuesta. 2. Sí, el símbolo $d_{\mu}$ se utiliza para subrayar que es una derivada total, es decir, incluye diferenciaciones de espacio-tiempo tanto implícitas como explícitas.

Diego Mazón · Answer 2

1) Sí, la carga se conserva verdadera y exactamente. Lo que te confunde, creo, es que la corriente para un campo escalar depende explícitamente de 4 potenciales $A$ , mientras que para un spin-1/2 no. Obviamente, esto está relacionado con el número de derivadas en el término cinético lagrangiano y, asimismo, con el número de derivadas en la corriente. Puede ayudarte a entender lo que está pasando al adoptar el formalismo canónico (también conocido como el lenguaje de los caballeros), en el que en ambos casos la densidad (y también la carga) involucra el producto del momento canónico y el campo, como no podía ser de otra manera porque la carga no es otra cosa que el generador infinitesimal de $U(1)$ transformaciones tanto para el campo como para el momento canónico.

Veamos las expresiones. Para spin-1/2 la densidad de carga es:

ρ_{1 / 2} \propto ψ^{*} ψ

$\rho_{1/2}\propto\psi ^{*}\, \psi$ dónde

ψ^{*}

$\psi ^{*}$ es el momento canónico conjugado de

ψ

$\psi$ (reemplace las estrellas con dagas para los operadores).

Para el campo escalar complejo:

ρ_{0} \propto ϕ^{*} D^{0} ϕ - ϕ D^{0} ϕ^{*} = ϕ^{*} π - ϕ π^{*}

$\rho_0\propto \phi^*\,D^0\phi - \phi\,D^0\phi^* =\phi^*\, \pi - \phi\,\pi^*$

dónde $\pi^*$ es igualmente el impulso canónico para $\phi$ . Tenga en cuenta que entre los prefactores omitidos hay una unidad imaginaria $i$ , por lo que la densidad de carga es real.

Es obvio que la carga, definida como la integral sobre todo el espacio de la densidad de carga, genera $U(1)$ Transformaciones de fase al actuar sobre campos y momentos de ambos espines.

Ahora considere las densidades hamiltonianas (el subíndice se refiere al giro) de estos campos en un campo electromagnético:

H_{1 / 2} = ψ^{*} (- \vec{γ} \cdot \vec{D} + metro) ψ + q A_{0} ρ_{1 / 2}

$\mathcal H_{1/2} = \psi^*(-\vec{\gamma}\cdot\vec D+ m )\,\psi + q\,A_0\,\rho_{1/2}$

H_{0} = π^{*} π + (\vec{D} ϕ)^{*} \cdot (\vec{D} ϕ) + {metro}^{2} ϕ^{*} ϕ + q A_{0} ρ_{0}

$\mathcal H_{0} = \pi^*\pi+(\vec D\phi)^*\cdot(\vec D\phi) + m^2\phi^*\phi + q\,A_0\,\rho_{0}$

Ahora queremos calcular cómo cambia la carga cuando cambia el campo electromagnético. Podemos, por ejemplo, pensar en una situación en la que el campo electromagnético es externo y depende del tiempo (podemos encenderlo y apagarlo, variar su intensidad, etc.) y los campos están conectados con partículas de prueba. (Por supuesto que sabemos que la carga es una cantidad conservada por el teorema de Noether, pero queremos calcular su variación explícitamente). En ambos casos la variación de la densidad vendrá dada por su conmutador (o paréntesis de poisson estamos en el ámbito clásico) con el hamiltoniano. Entonces es fácil comprobar haciendo uso de las relaciones canónicas entre pares conjugados que para ambos giros, sorpresa, sorpresa, obtenemos:

\dot{ρ} = - \vec{\nabla} \cdot \vec{j}

$\dot\rho = - \vec{\nabla} \cdot \vec{J}$ Y por lo tanto, la carga es constante siempre que los campos de materia lleguen a cero lo suficientemente rápido en el infinito. Esto podría verse mucho más rápido desde

U (1)

$U(1)$ invariancia del hamiltoniano, pero quería reproducir la ecuación de continuidad.

Lo que quizás le falta al OP es que además del cambio en $A$ , hay que considerar el cambio en los campos de la materia. Eso es, $A$ cambia y los campos de materia cambian de tal manera que la carga no cambia. No es magia, es así por construcción (la interacción es respetando el $U(1)$ simetría). Si en lugar de un campo electromagnético externo, uno desea considerar el interno, el producido por los campos de materia cargada, entonces, simplemente haciendo uso de la ecuación de Maxwell, se obtiene nuevamente la ecuación de continuidad.

2) Lo que llamas la "carga desnuda", que probablemente no sea un buen nombre ya que este término está reservado para otra cosa, carece de contenido físico antes de fijar un calibre, ya que no es una cantidad invariante de calibre. Tenga en cuenta, sin embargo, que siempre se puede elegir el calibre favorito. Y si uno elige el calibre temporal ( $A_0=0$ ), la carga no depende del potencial 4 ( $D_0\phi=\partial _0 \phi$ en este indicador) y la forma es la misma que su "carga desnuda", que se conserva en este indicador.

3) La única diferencia en el movimiento de las partículas de espín medio y las partículas de espín cero en un campo electromagnético es un término proporcional a

σ_{m v} F^{m v}

$\sigma_{\mu\nu}\, F^{\mu\nu}$

en la ecuación para partículas de spin-1/2. Este término da lugar al término

S \cdot B

$\bf{S}\cdot \bf{B}$

en el límite no relativista, es decir, la interacción entre el espín de la partícula y el campo magnético.

4) Puede ayudarlo a obtener la ecuación en su respuesta si primero piensa en la ecuación de movimiento en el límite no relativista, que es la ecuación de Schrödinger en un campo electromagnético, es decir, la ecuación de Schrödinger que reemplaza las derivadas parciales con calibre- covariantes (para partículas escalares, para spin-1/2 existe el término adicional que escribí anteriormente).

1) Considere un número fijo $N$ de $\phi$ partículas de carga $e$ . El campo EM está acoplado como $\partial_\mu F^{\mu \nu} = \mathcal{J}^\nu$ y las asintóticas del campo son así $\sim Q/r$ lejos de los bosones. Ahora aumente el campo EM, digamos por un campo electrostático homogéneo. Entonces, dado que la carga se conserva exactamente, ¿el aumento del campo EM implica que la $\phi$ las partículas se desvanecen? ¿Está terminado? $N$ o $e$ que las partículas se desvanecen? ¿Por qué debería ser diferente del caso fermiónico?
El formalismo hamiltoniano parece simplemente encubrir las cosas en este caso. Si toma el operador de carga en términos de operadores de creación y aniquilación, simplemente hay algo extra que tiene un significado poco claro. La cuantización de la carga y la conservación del número de (partículas-antipartículas) parece estar de alguna manera en conflicto con la conservación de la carga.
2) Sí, "carga pura" no es un buen nombre. Pero el calibre temporal está en conflicto con poner todas las derivadas temporales iguales a cero, ya que tienes que tener $\vec{E} \sim - \partial_0 \vec{A}$ etc. Además, el cargo sería simplemente cero en el caso $\partial_0 \phi = 0$ y $\Phi =0$ .
3) En realidad no hacemos el límite no relativista de $U(1)$ bosones acoplados, tomamos el límite no relativista de los bosones acoplados de Yukawa para los cuales el acoplamiento de Yukawa es una consecuencia de que las partículas son realmente partículas compuestas (como los piones) con el fermiónico $U(1)$ acoplamiento a campos EM.
@Void 1) Cuando enciende el campo electrostático homog externo, la dinámica de los campos de materia $\phi$ cambian de tal manera que compensan el cambio en $A_0$ . Esta es la versión covariante de calibre en el espacio de configuración (sin impulso canónico). Otra forma de verlo es fijar el indicador temporal, donde no hay una dependencia explícita de $A$ . Entonces el campo homogéneo externo es solo $A_0=0$ , $\vec A=\vec E_0 \, t$ . Ni las partículas desaparecen ni su carga se desvanece. Simplemente cambian su movimiento.
@Void El formalismo canónico no cubre nada. Está todo claro y no hay nada incompatible en absoluto, 2) Simplemente no puedes poner todas las derivadas temporales iguales a cero, este no es un límite físico sensato hasta donde puedo ver. ¿Cómo justificas ese límite? Es una dinámica diferente más que un límite. 3) No entiendo cómo se relaciona eso con este problema.
@Void Como no veo de dónde viene su confusión, trate de ayudar diciendo que en cuántica no relativista con un campo EM, la densidad de carga es solo $\psi^*\,\psi$ y la densidad de corriente es la parte imaginaria de $\psi^*\vec D \psi$ . depende explícitamente de $A$ tanto para bosones como para fermiones. Es esta corriente, en lugar de las derivadas no covariantes, la que es invariante de calibre. Esta expresión con covariante dará una dependencia del movimiento cinemático de la partícula.

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