¿Cómo podemos probar la invariancia de carga bajo la Transformación de Lorentz?

Question

¿Cómo podemos probar la invariancia de carga bajo la Transformación de Lorentz?

aargiee

Tenemos fuerza gravitacional entre dos partículas masivas y tenemos fuerza electromagnética entre dos partículas cargadas. Cuando la relatividad especial sugiere que la masa no es una cantidad invariable, ¿por qué tenemos la carga eléctrica como una cantidad invariante?

AccidentalFourierTransformar

La masa es de hecho una cantidad invariante. Ver ¿ Por qué existe controversia sobre si la masa aumenta con la velocidad? y ¿Cambia la masa (relativista)? ¿Por qué?

Juan Rennie

La masa es un invariante, o más precisamente, la masa en reposo es un invariante. Estás pensando en el viejo concepto de masa relativista , que no se usa en estos días. La carga eléctrica es un invariante al igual que la masa en reposo. Ambos son escalares.

Respuestas (4)

¿Cómo podemos probar la invariancia de carga bajo la Transformación de Lorentz?

La masa es de hecho una cantidad invariante. Ver ¿ Por qué existe controversia sobre si la masa aumenta con la velocidad? y ¿Cambia la masa (relativista)? ¿Por qué?
La masa es un invariante, o más precisamente, la masa en reposo es un invariante. Estás pensando en el viejo concepto de masa relativista , que no se usa en estos días. La carga eléctrica es un invariante al igual que la masa en reposo. Ambos son escalares.

AccidentalFourierTransformar · Answer 1

Dejar $j=(\rho,\boldsymbol j)$ Sea la densidad de corriente de un sistema. Estos cuatro números son, por hipótesis, un vector. Esto significa que la densidad de carga $\rho$ se transforma como $t$ lo hace, es decir , se "dilata" al cambiar de marco de referencia a marco de referencia:

\begin{matrix} (1) & ρ^{'} \to γ ρ \end{matrix}

$\rho'\to\gamma \rho \tag{1}$

La carga es, por definición, la integral de volumen de la densidad de carga:

\begin{matrix} (2) & q \equiv \int d X ρ \end{matrix}

$Q\equiv \int\mathrm d\boldsymbol x\ \rho \tag{2}$

En un marco de referencia diferente, la carga es

\begin{matrix} (3) & q^{'} = \int d X^{'} ρ^{'} = \int d X^{'} γ ρ \end{matrix}

$Q'=\int\mathrm d\boldsymbol x'\ \rho'=\int\mathrm d\boldsymbol x'\ \gamma \rho \tag{3}$ donde usé

(1)

$(1)$ .

A continuación, necesitamos saber qué $\mathrm d\boldsymbol x'$ es. El truco para evaluar esto es notar que el producto $\mathrm dt\;\mathrm d\boldsymbol x$ es invariante (en SR). Esto significa que podemos escribir $\mathrm dt'\;\mathrm d\boldsymbol x'=\mathrm dt\;\mathrm d\boldsymbol x$ ; resolviendo para $\mathrm d\boldsymbol x'$ obtenemos

\begin{matrix} (4) & d X^{'} = \frac{d t}{d t^{'}} d X = \frac{1}{γ} d X \end{matrix}

$\mathrm d\boldsymbol x'=\frac{\mathrm dt}{\mathrm dt'}\mathrm d\boldsymbol x=\frac{1}{\gamma}\mathrm d\boldsymbol x \tag{4}$

Si enchufamos esto $(3)$ , encontramos

\begin{matrix} (5) & q^{'} = \int d X^{'} γ ρ = \int d X ρ = q \end{matrix}

$Q'=\int\mathrm d\boldsymbol x'\ \gamma \rho=\int\mathrm d\boldsymbol x\ \rho=Q \tag{5}$ eso es,

Q = Q^{'}

$Q=Q'$ .

No soy el votante negativo, pero este argumento asume la conclusión. Acaba de modificar ligeramente la suposición inicial para que sea " $j^\mu$ es un vector de 4 ", que es básicamente lo mismo que la invariancia de carga. La mejor manera es comenzar con un Lagrangiano (postulado como invariante), luego aplicar el teorema de Noether.
@knzhou No estoy seguro de lo que quieres decir. No inventé esta prueba: es la estándar y se puede encontrar en muchos libros sobre RS. Mi suposición es de hecho " $j^\mu$ es un cuatro vector". Usando esto, junto con la contracción/dilatación de Lorentz, demostramos fácilmente que $Q$ toma el mismo valor en cualquier marco de referencia. Además, el teorema de Noether es una exageración total aquí, donde tenemos una prueba simple que usa física que cualquier estudiante conoce.
Pero hasta que aprendas sobre $j^\mu$ en la relatividad especial, se demuestra cuidadosamente que cada vector de 4 propuesto es realmente un vector de 4; $j^\mu$ es el único que tiene que ser postulado. Justificar esa suposición es la verdadera pregunta, es decir, ahí es donde está la física.
@knzhou bueno, tenemos que postular algo . Podemos postular que 1) $j^\mu$ es un cuatro vector, 2) el Lagrangiano de una partícula puntual es $L=Q u_\mu A^\mu$ , 3) que $\psi\to\mathrm e^{i\theta Q}\psi$ es una simetría del QED Lagrangiano, 4) etc. Pero necesitamos algo de información. Creo que la opción 1) es la más natural (al nivel de conocimiento de OP), pero, por supuesto, otras personas pueden estar en desacuerdo. Te gusta 3). Me pregunto qué habría pensado OP si hubiera dicho "deja $L=\bar\psi(\not\partial-m)\psi+\cdots$ "
Sí estoy de acuerdo. Supongo que me estaba proyectando en el OP; cuando aprendí sobre la relatividad especial, nadie me hablaba de (2) o (3), solo repetían (1) una y otra vez. Al nivel de este post (1) está bien.
@AccidentalFourierTransform Tengo curiosidad por qué no usaste la relación $\partial_{\mu}J^{\mu}=0$ dado que aquí la discusión fue sobre la transformación de Lorentz, podríamos tener la idea de la contracción y dilatación de Lorentz, pero aplicar el tren de pensamientos anterior parece difícil en GR.
Las integrales que definen $Q$ y $Q'$ tienen lugar en diferentes hipersuperficies espaciales en el espacio-tiempo (es decir, diferentes observadores tienen diferentes nociones de tiempo constante). Sin embargo, esta respuesta parece asumir que se toman en la misma hipersuperficie espacial.
@NíckolasAlves No hace ninguna diferencia ya que se conserva la corriente. $Q(\Sigma)=\int_\Sigma j$ es invariante bajo deformaciones de $\Sigma$ gracias a $\mathrm dj=0$ .
Pero entonces, ¿la integral espacial de la densidad de energía es también un escalar de Lorentz? Este mismo argumento también funcionaría con el cuatro vector de densidad de energía. ¿Eso no convierte al hamiltoniano de la teoría cuántica de campos en un escalar de Lorentz?
@RyderRude No, el hamiltoniano es la integral de un tensor de rango 2 $T^{\mu\nu}$ (el tensor de energía-momento), pero la carga eléctrica es la integral de un tensor de rango 1 $j^\mu$ (la corriente de carga). Como tal, el hamiltoniano es la componente cero de un vector y la carga eléctrica es un escalar. (La integración redujo el rango en 1, por lo que $T$ se convierte en un vector y $j$ un escalar).
@AccidentalFourierTransform Pero, solo para la energía, solo estamos interesados en los cuatro vectores $T^{\mu 0}$ . El otro $T^{\mu i}$ se relacionan con las corrientes de impulso. Entonces, la integral espacial de la componente 0 de los cuatro vectores $T^{\mu 0}$ debería ser la energía total, ¿verdad? Eso lo hace idéntico a la carga total, que también es l la integral espacial del componente 0 de un vector de cuatro
@RyderRude Los componentes $T^{\mu0}$ no son cuatro vectores . A las matemáticas no les importa lo que te interesa. Es posible que solo te importe $T^{\mu0}$ , pero eso no cambia el hecho de que $T^{\mu\nu}$ es un tensor de rango 2. Un subconjunto de componentes de un determinado tensor no se transforma como un tensor de rango inferior. Puede optar por olvidar que esos componentes provienen de un objeto más grande, pero eso no cambia las leyes de transformación del mismo. Bajo una transformación de Lorentz, un vector se transforma como $j\to \Lambda j$ , y $T^{\mu0}$ se transforma como $T\to \Lambda T\Lambda$ .
@AccidentalFourierTransform Lo siento, pensé que el teorema de Noether siempre devolvía cuatro vectores. Muchas gracias.

Reino Unido · Answer 2

Toda la teoría electromagnética se basa en las ecuaciones de Maxwell más la ecuación de fuerza de Lorentz . La transformación de Lorentz es una descripción geométrica de cómo algo relacionado con el espacio y el tiempo varía a medida que se acerca a la velocidad de la luz (en ausencia de gravedad; estamos considerando solo marcos inerciales aquí).
Las leyes del electromagnetismo son fundamentales para cualquier fenómeno electromagnético. Como uno de los postulados de la teoría especial de la relatividad establece que las leyes de la física son idénticas en todos los marcos de inercia , entonces las leyes del electromagnetismo también deberían ser idénticas en todos los marcos de inercia. Esto es para (me refiero al propósito de la relatividad) estar de acuerdo en que dos personas en diferentes marcos de referencia deberían ver las mismas leyes físicas.
Entonces necesitamos que las leyes del electromagnetismo sean las mismas para todos los marcos de inercia. Esto puede ser cierto solo si tratamos la carga como una cantidad invariablesolo. La única fuente de la teoría electromagnética son las cargas. Tenemos el teorema de la conservación de las cargas (no podemos crear ni destruir una carga. Todo lo que podemos hacer es moverla de un punto a otro). Esta única ley de la física debería ser válida para todos los observadores inerciales. Como la carga es el aspecto fundamental de cualquier fenómeno electromagnético, dos marcos de inercia deberían detectar la misma cantidad de carga en una región definida del espacio. En caso contrario no se conservará el cargo. La conservación de la carga provino de las ecuaciones de Maxwell, lo que significa que entonces todas las leyes del electromagnetismo aparecerán asimétricas (totalmente diferentes) para diferentes marcos de inercia.
Pero no deberías que si una persona ve la fuerza electrostática en un marco de referencia, la otra persona en algún otro marco de referencia inercial ve lo mismo que la fuerza magnética. Sin embargo, ambos experimentan una fuerza. (Esta cosa es uno de los teoremas importantes en la electrodinámica relativista: el magnetismo es un fenómeno relativista )

Proción · Answer 3

La neutralidad eléctrica de los átomos y las moléculas prueba que la carga es independiente de la velocidad. Un átomo de helio y una molécula de hidrógeno son neutrales, aunque la velocidad de los electrones en el átomo de helio es casi el doble de la de una molécula de hidrógeno. Entonces, al menos experimentalmente, es un hecho comprobado que la carga es independiente de la velocidad.

La relatividad especial es una teoría clásica, pero el electrón en un átomo en realidad no tiene una velocidad clásica, así que este argumento no me convence...
Lo que quise decir con velocidad es en realidad la energía cinética. La energía cinética es un observable en la mecánica cuántica. Entonces, ¿de qué otra manera se puede explicar el hecho de que los átomos sean neutros?

mis2cts · Answer 4

Para cualquier cantidad conservada, $\partial_\mu j^\mu =0$ , puedes probar que $Q = \int d^3 x j^0$ es un escalar.

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