¿Resumen de mi comprensión de la convergencia y divergencia de secuencias y series?

Question

¿Resumen de mi comprensión de la convergencia y divergencia de secuencias y series?

limites
Matemáticas
análisis real
secuencias y series
convergencia divergencia

usuario98937

Estoy tratando de resumir mi comprensión de secuencias infinitas, series y sus relaciones con respecto a la convergencia en el nivel fundamental. Esto es lo que sé. ¿Cuánto de esto es correcto?

En primer lugar, aquí hay una tabla de las notaciones que uso y su significado correspondiente.

Mi entendimiento es que:

La secuencia $\lbrace a_n \rbrace _{n=0}^{\infty}$ converge si
$\underset{norte \to \infty}{límite} a_{norte} = L_{a} .$ $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=L_{a}.$
la serie infinita $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n$ converge si su secuencia de sumas parciales, $\lbrace s_n \rbrace _{n=0}^{\infty}$ , tiene un límite, es decir
$\underset{norte \to \infty}{límite} s_{norte} = L_{s} .$ $\lim\limits_{n\to\infty}s_n=L_{s}.$
Si la serie infinita $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n$ converge, entonces el límite de la sucesión $\lbrace a_n \rbrace _{n=0}^{\infty}$ es $0$ , es decir
$\sum_{norte = 0}^{\infty} a_{norte} C o norte v mi r gramo mi s \to \underset{norte \to \infty}{límite} a_{norte} = 0.$ $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n \: converges \rightarrow \lim\limits_{n\to\infty}a_n=0.$
La prueba de divergencia:

Si el límite de la sucesión $\lbrace a_n \rbrace _{n=0}^{\infty}$ no es $0$ o no existe, entonces la serie infinita diverge, es decir
$\underset{norte \to \infty}{límite} a_{norte} \neq 0 \to \sum_{norte = 0}^{\infty} a_{norte} d i v mi r gramo mi s$ $\lim\limits_{n\to\infty}a_n\neq0 \rightarrow \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n \: diverges$

Agradecería seriamente si alguien pudiera verificar si lo anterior es exacto o incorrecto de alguna manera.

EDITAR: modifiqué la notación de dos límites que se mencionaron en los comentarios y las respuestas a continuación, además de agregar la condición adicional (el límite no existe o no es igual a cero) para la prueba de divergencia. Agradezco todas las respuestas/comentarios.

usuario99914

Diría que la notación

L_{a_{n}}, L_{s_{n}}

$L_{a_n}, L_{s_n}$ se ve bastante mal, estos términos no deberían depender de

n

$n$ .

DanielWainfleet

Por cierto, un equivalente útil de

lim_{n \to \infty} a_{n} = L,

$\lim_{n\to \infty}a_n=L,$ que los estudiantes a menudo no piensan, es: Por cada

r > 0

$r>0$ el conjunto

{n : a_{n} \notin [- r + l, r + L]}

$\{n:a_n\not \in [-r+l,r+L]\}$ es finito

Respuestas (2)

¿Resumen de mi comprensión de la convergencia y divergencia de secuencias y series?

Diría que la notación $L_{a_n}, L_{s_n}$ se ve bastante mal, estos términos no deberían depender de $n$ .
Por cierto, un equivalente útil de $\lim_{n\to \infty}a_n=L,$ que los estudiantes a menudo no piensan, es: Por cada $r>0$ el conjunto $\{n:a_n\not \in [-r+l,r+L]\}$ es finito

Ovi · Answer 1

Todo es correcto, aunque la notación $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=L_{a_n}$ no es estándar. Tal vez una mejora sería escribirlo como $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=L_{a}.$ Normalmente solo un $L$ será suficiente, pero si está trabajando con varias secuencias (como $a_n, b_n, c_n$ ) entonces $L_a$ es una buena notación para el límite de la sucesión $a$ .

La razón por la cual $L_{a_n}$ no es tan bueno es porque $n$ es solo una variable libre que no tiene importancia alguna; Si tú escribes $a_n$ o $a_k$ es lo mismo. Lo que importa es la secuencia cuyo nombre es " $a$ ".

También tenga en cuenta que sus dos últimas declaraciones son trivialmente equivalentes; son contrapositivos entre sí. En general "Si $p$ entonces $q$ " está afirmando lo mismo que "Si no $q$ entonces no $p$ ".

Por lo tanto, sólo de saber

$\sum_{norte = 0}^{\infty} a_{norte} C o norte v mi r gramo mi s \to \underset{norte \to \infty}{límite} a_{norte} = 0.$ $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n \: converges \rightarrow \lim\limits_{n\to\infty}a_n=0.$

puedes deducir

$not (\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0 ) \rightarrow not (\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n \: converges)$

o en otras palabras

$\lim\limits_{n\to\infty}a_n \not =0 \text{ or the limit doesn't exist} \rightarrow \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n \: diverges$

En cuanto a la redundancia a mi entender, aunque $\lim\limits_{n\to\infty}a_n \not =0 \text{ or the limit doesn't exist} \rightarrow \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n \: diverges,$ no significa que $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0 \rightarrow \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n \: converges,$ ¿Tengo razón?
@ user98937 Sí, eso es perfectamente correcto. Lo que escribiste es lo contrario de $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n \: converges \rightarrow \lim\limits_{n\to\infty}a_n=0.$ . Los recíprocos a veces son ciertos, pero no en este caso, como puede ver en $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac 1n$ que diverge, a pesar de que $\lim_{n \to \infty} \dfrac 1n=0$

max_zorn · Answer 2

Todo lo que escribes me parece bien.

¿Resumen de mi comprensión de la convergencia y divergencia de secuencias y series?

usuario98937

usuario99914

DanielWainfleet

Respuestas (2)

Ovi

usuario98937

Ovi

max_zorn

Convergencia de una serie infinita particular

Cuestión de evaluación de un límite de una sucesión.

¿Contradicciones entre la prueba de series alternas y la prueba de divergencia?

Secuencia, teorema de convergencia monótona.

Comprobando si esta sucesión es convergente o divergente

convergencia de la serie ∑un,un=nnxnn!∑un,un=nnxnn!\sum u_n, u_n = \frac{n^nx^n}{n!} para x>0x>0x>0

Demostrar que una sucesión convergente tiene un mínimo, un máximo o ambos.

Determina si la serie ∑∞n=02n2n!∑n=0∞2n2n!\sum_{n=0}^\infty\frac{2^{n^2}}{n!} es convergente o divergente.

Cuando lim|ak+1/ak|=1lim|ak+1/ak|=1\lim\left| a_{k+1}/a_k \right| =1 en la prueba de razón límite, ¿se sigue que la serie diverge?

Demostrando que toda sucesión de Cauchy en RR\mathbb{R} es convergente. ¿Funciona la siguiente demostración?