Cuerda vibrante, condición límite de extremo libre

La condición de frontera abierta significa, como se indica en la pregunta, que en la frontera no actúa ninguna fuerza sobre el extremo de la cuerda en la dirección del alargamiento.

Como la punta de la cuerda tiene una masa infinitesimal, podemos argumentar como si estuviéramos considerando las condiciones para el equilibrio estático (si las fuerzas causadas por la cuerda fueran diferentes de las fuerzas causadas por la pared en una cantidad finita, el extremo de la cuerda sería ser acelerado infinitamente, lo cual no es físico).

Las fuerzas que actúan en el extremo de la cuerda se pueden analizar fácilmente: la fuerza actúa en la dirección de la cuerda (porque una cuerda ideal, por definición, no tiene resistencia a la flexión) y es igual en magnitud a la tensión de la cuerda.

Esto significa que no hay fuerza paralela al límite si la dirección de la cuerda es perpendicular a la superficie. Esta condición obviamente se puede codificar en el requisito de que$\partial_x u = 0$(como$u$es el$y$coordenada de la cuerda en la posición$x$, por lo que la cuerda es perpendicular al límite si la pendiente del gráfico es cero).

Creo que la respuesta de Sebastian Riese capta la esencia del argumento. Solo para agregar a aquellos que puedan estar interesados, aquí hay una versión matemática del argumento:

Deje que una cuerda se extienda desde$x = 0$a$x = L$y deja$u(x)$ser el$y$coordenada de cada punto de la cuerda. Considere una porción de la cuerda de$x = 0$a$x = b$y aplicarle la segunda ley de Newton, que establece que la suma de las fuerzas externas en esta parte de la cuerda es igual a la suma de la masa por la aceleración de los elementos que componen la parte de la cuerda. Considera el$y$componente de esta ecuación, entonces la cuerda se considera como un medio continuo, la última cantidad se puede expresar como la integral de la densidad de la cuerda por la derivada de segundo orden de$u(x)$con respecto al tiempo,$\int_0^b \rho u_{tt}(x) dx$.

Ahora considere las fuerzas externas sobre la porción de cuerda en el$y$dirección. Las fuerzas internas debidas a la tensión de la cuerda no aportan una fuerza neta debido a la ley de acción-reacción, por lo que las fuerzas netas solo ocurren en los puntos extremos de la cuerda. En$x = 0$, porque el final de la cadena está obligado a permanecer en$x = 0$pero por lo demás es libre de moverse$y$, la fuerza neta a lo largo$y$es nulo. En$x = b$, una fuerza neta resultará de la tensión en la cuerda (los átomos a la izquierda y a la derecha de$x = b$están tirando unos de otros, pero solo el átomo de la izquierda es parte de la porción de cuerda considerada). Siendo la tensión una fuerza alineada a lo largo de la cuerda, la$y$componente de la fuerza en$x = b$es$T \frac{u_x}{\sqrt{1+u_x^2}} \approx T u_x$dónde$T$es la magnitud de la tensión. Por lo tanto, la segunda ley de Newton a lo largo de$y$lee

$T u_x(b) = \int_0^b \rho u_{tt}(x) dx$

Ahora suponga que$u_x(x)$es continua y que$u_{tt}(x)$es continua y acotada, tomando el límite$b \rightarrow 0$rendimientos$u_x(0) = 0$, que es la condición de contorno.