Fondo

Dejar$\tau$ser la tensión y$\mu$Sea una densidad de masa lineal (es decir, masa por unidad de longitud), entonces la ecuación de onda para una cuerda está dada por:

$$\partial_{tt} \psi \left(x,t\right) - \frac{ \tau }{ \mu } \partial_{xx} \psi \left(x,t\right) = 0 \tag{0}$$ dónde $\partial_{jj} \equiv \partial^{2}/\partial j^{2}$y $\psi \left(x,t\right)$es una solución general a esta ecuación, llamada ecuación de onda .

Esto tiene una solución simple de la forma:

$$\psi \left(x,t\right) = A \ e^{i \left( \pm \mathbf{k} \cdot \mathbf{x} \pm \omega t \right)} \tag{1}$$ dónde $A$es cierta amplitud y la velocidad de fase de la onda viene dada por: $$\frac{\omega}{k} = \sqrt{\frac{ \tau }{ \mu }} \equiv C \tag{2}$$

Queremos encontrar soluciones de la forma$f\left( x - C \ t \right)$, pero esto solo funciona para ondas no dispersivas y no funciona para ondas no lineales . En otras palabras, la solución se aplica cuando la velocidad de fase de la onda es$C$= constante.

Reflexión y Transmisión

Primero, suponga$\tau$es uniforme en toda la cuerda para evitar cualquier aceleración no deseada. A continuación, definamos una forma general:

$$\psi_{j} \left(x,t\right) = f_{j} \left(x - v_{j} t\right) = f_{j} \left(t - \frac{x}{v_{j}} \right) \tag{3}$$ donde el subíndice $j$= $i$por incidente, $r$por reflejado, y $t$para ondas transmitidas. Ahora supongamos que hay algún límite en $x$= 0 y que nuestra cuerda tiene diferentes densidades de masa en cada lado. definamos $\mu_{1}$para la Región 1 (- $\infty < x < 0$) y $\mu_{2}$para la Región 2 ( $0 < x < \infty$). Entonces tenemos: $$\begin{align} v_{1} & = \sqrt{\frac{ \tau }{ \mu_{1} }} \tag{4a} \\ v_{2} & = \sqrt{\frac{ \tau }{ \mu_{2} }} \tag{4b} \end{align}$$

Tenga en cuenta que la onda reflejada,$\psi_{r} \left(x,t\right)$, tendrá un negativo$v_{r}$y por lo tanto un signo positivo en la expresión para$f$. Como las ondas son lineales, podemos simplemente escribirlas como una superposición lineal de dos ondas para la Región 1. Entonces tenemos:

$$\begin{align} \psi_{1} \left(x,t\right) = \psi_{i} \left(x,t\right) + \psi_{r} \left(x,t\right) = f_{i} \left(t - \frac{x}{v_{1}} \right) + f_{r} \left(t + \frac{x}{v_{1}} \right) \tag{5a} \\ \psi_{2} \left(x,t\right) = \psi_{t} \left(x,t\right) = f_{t} \left(t - \frac{x}{v_{2}} \right) \tag{5b} \end{align}$$

Condiciones de borde

Hay dos condiciones de contorno (BC) que deben cumplirse:

1. la cuerda es continua
2. La pendiente de la cuerda es continua.

Estos se pueden escribir matemáticamente como:

$$\begin{align} \psi_{1} \left(0,t\right) & = \psi_{2} \left(0,t\right) \tag{6a} \\ \partial_{x} \psi_{1} \left(x,t\right) \vert_{x = 0} & = \partial_{x} \psi_{2} \left(x,t\right) \vert_{x = 0} \tag{6b} \end{align}$$ donde estas ecuaciones se pueden reescribir en términos de $f_{j}$(e integrando el segundo) para encontrar: $$\begin{align} f_{i} \left(t - \frac{x}{v_{1}} \right) + f_{r} \left(t + \frac{x}{v_{1}} \right) & = f_{t} \left(t - \frac{x}{v_{2}} \right) \tag{7a} \\ v_{2} \left[ \ f_{i} \left(t\right) - f_{r} \left(t\right) \right] & = v_{1} f_{t} \left(t\right) \tag{7b} \end{align}$$ Podemos resolver estas dos ecuaciones para $f_{r}$y $f_{t}$en términos de $f_{i}$encontrar: $$\begin{align} f_{r} & = \left( \frac{ v_{2} - v_{1} }{ v_{1} + v_{2} } \right) \ f_{i} \tag{8a} \\ f_{t} & = \left( \frac{ 2 \ v_{2} }{ v_{1} + v_{2} } \right) \ f_{i} \tag{8b} \end{align}$$

Coeficientes/Amplitudes

Podemos ver a partir de las dos últimas ecuaciones que las amplitudes de la reflejada ($R$) y transmitido ($T$) onda están dadas por:

$$\begin{align} R & = \left( \frac{ v_{2} - v_{1} }{ v_{1} + v_{2} } \right) = \left( \frac{ \sqrt{ \mu_{1} } - \sqrt{ \mu_{2} } }{ \sqrt{ \mu_{1} } + \sqrt{ \mu_{2} } } \right) \tag{9a} \\ T & = \left( \frac{ 2 \ v_{2} }{ v_{1} + v_{2} } \right) = \left( \frac{ 2 \ \sqrt{ \mu_{1} } }{ \sqrt{ \mu_{1} } + \sqrt{ \mu_{2} } } \right) \tag{9b} \end{align}$$

Anillo sin masa

Un anillo ¹ sin masa en un extremo de una cuerda ² se trata como una forma de impedancia . Debido a que el anillo no tiene masa, requerimos que la fuerza neta transversal (es decir, ortogonal a la dirección de propagación de la onda, digamos, a lo largo de la dirección x/horizontal) sea cero. Una fuerza transversal finita daría como resultado una aceleración infinita. La única diferencia en este caso es que necesitamos usar una tensión no uniforme. Entonces simplemente seguimos los mismos pasos que arriba pero usamos$\tau_{j}$para la Región$j$y así tenemos:

$$\begin{align} \tau_{1} \ \sin{\theta_{1}} & = \tau_{2} \ \sin{\theta_{2}} \tag{10a} \\ \tau_{1} \ \partial_{x} \psi_{1} \left(x,t\right) \vert_{x = 0} & = \tau_{2} \ \partial_{x} \psi_{2} \left(x,t\right) \vert_{x = 0} \tag{10b} \end{align}$$ donde los ángulos, $\theta_{j}$, son relativos a la dirección x/horizontal. Podemos definir la impedancia como $Z_{j} = \tau_{j}/v_{j} = \sqrt{ \tau_{j} \ \mu_{j} }$, lo que nos permite redefinir la reflexión ( $R$) y transmisión ( $T$) coeficientes como: $$\begin{align} R & = \left( \frac{ Z_{1} - Z_{2} }{ Z_{1} + Z_{2} } \right) \tag{11a} \\ T & = \left( \frac{ 2 \ Z_{1} }{ Z_{1} + Z_{2} } \right) \tag{11b} \end{align}$$

anillo masivo

En contraste con un anillo sin masa, un anillo masivo requiere una alteración de los BC ya que ahora necesitamos incluir las leyes de Newton. Podemos suponer que la cuerda aplica una fuerza y ​​el anillo masivo sufre una aceleración, lo que nos permite escribir:

$$\begin{align} F & = \tau \partial_{x} \psi \left(x,t\right) \tag{12a} \\ m \ a & = m \ \partial_{tt} \psi \left(x,t\right) \tag{12b} \end{align}$$ Tenga en cuenta que $F$en la Ecuación 12a es la fuerza vertical sobre el anillo debido a la tensión en la cuerda, $m$en la Ecuación 12b es la masa del anillo, y $a$en la Ecuación 12b es la aceleración del anillo ³ .

Podemos ver que en el límite como$m \rightarrow 0$tenemos$\partial_{x} \psi \rightarrow 0$, por lo que la fuerza es nula como es necesaria para un sistema sin masa. También vemos que como$m \rightarrow \infty$tenemos$\partial_{tt} \psi \rightarrow 0$, lo que implica una velocidad constante para el anillo masivo (es decir, sería cero aquí ya que la condición inicial es que parte del reposo).

Ejemplos de límites

Ahora podemos proporcionar algunos ejemplos útiles:

• Cuerda uniforme:$\mu_{1} = \mu_{2}$o$v_{1} = v_{2}$
  • $R$= 0 y$T$= 1
• Pared sólida (¿infinita?) en$x = 0$:$\mu_{2} \rightarrow \infty$o$v_{2} = 0$
  • $R$= -1 y$T$= 0
• Cadena de masa cero para$x > 0$:$\mu_{2} \rightarrow 0$o$v_{2} = \infty$
  • $R$= 1 y$T$= 2
• Anillo sin masa en un poste vertical sin fricción en$x = 0$:$\tau_{2} = 0$ $\rightarrow$ $Z_{2} = 0$
  • $R$= 1 y$T$= 2
• Anillo masivo en un poste vertical sin fricción en$x = 0$:
  • $\lim_{m \rightarrow 0} \ \partial_{x} \psi = 0$ $\Rightarrow$ $R$= 1 y$T$= 2
  • $\lim_{m \rightarrow \infty} \ \partial_{tt} \psi = 0$ $\Rightarrow$ $R$= -1 y$T$= 0

notas al pie

1. El anillo debe carecer de masa para mantener las condiciones de contorno sin requerir una fuerza infinita para hacerlo. Esto se debe a que requerimos continuidad en la pendiente y la tensión en la unión. Una masa finita también resultaría en$Z_{2} \neq 0$, ya que actuaría como una segunda tensión.
2. Suponga que el anillo está sobre una barra vertical sin fricción.
3. Aparte, se debe tener en cuenta que las BC y las ecuaciones diferenciales son los componentes principales de un problema. Esto es relevante porque la regla de superposición no se utilizó en las Ecuaciones 12a y 12b en contraste con el enfoque utilizado en las secciones anteriores. El uso de una superposición es solo uno de los muchos métodos posibles que se pueden usar para resolver las ecuaciones diferenciales, pero no es obligatorio y es posible que no se aplique en algunas circunstancias. Es decir, las BC y las ecuaciones diferenciales existen independientemente de si se puede aplicar la regla de superposición.

Referencias

• French, AP (1971), Vibrations and Waves , Nueva York, NY: WW Norton & Company, Inc.; ISBN: 0-393-09936-9.
• Whitham, GB (1999), Ondas lineales y no lineales , Nueva York, NY: John Wiley & Sons, Inc.; ISBN: 0-471-35942-4.

Encontré una buena explicación en la red para mi pregunta, así que la comparto en caso de que alguien más quiera una respuesta también. Tenga en cuenta que permanece la pregunta sobre "por qué alcanza el doble de amplitud", así como un nuevo problema sobre por qué la respuesta dice que el anillo tiene impulso (porque no tiene masa):

El extremo de la cuerda estacionaria, figura (a), está unido a un anillo que puede moverse libremente en dirección vertical en un poste sin fricción. Ahora se envía un pulso por la cuerda en la figura (b). Consideremos las fuerzas sobre la cuerda que provienen del pulso, es decir, ignoraremos las fuerzas gravitatorias sobre la cuerda. Las flechas hacia arriba y hacia abajo en el pulso representan las fuerzas hacia arriba y hacia abajo, respectivamente, sobre las partículas de la cuerda. El pulso se propaga hacia la derecha en la figura (c) y llega al anillo en la figura (d). La fuerza hacia arriba que se ha estado propagando hacia la derecha hace que el anillo en el extremo de la cuerda se mueva hacia arriba. El anillo sube ahora a la altura del pulso cuando el centro del pulso llega al anillo, figura (e). Aunque no hay fuerza adicional hacia arriba en el anillo, el anillo continúa moviéndose hacia arriba debido a su impulso. También podemos considerar esto desde un punto de vista energético. En la ubicación de la parte superior del pulso, el anillo tiene una energía cinética hacia arriba. El anillo continúa hacia arriba hasta que se pierde esta energía cinética. A medida que el anillo se mueve hacia arriba, ahora tira de la cuerda hacia arriba, superando eventualmente las fuerzas hacia abajo en la parte trasera del pulso, hasta que la cuerda a la izquierda del anillo tiene una fuerza neta hacia arriba que actúa sobre ella, figura (f). Esta fuerza hacia arriba ahora se propaga a lo largo de la cuerda hacia la izquierda tirando de cada partícula adyacente hacia su izquierda hacia arriba. Debido a que el anillo tiró hacia arriba de la cuerda, según la tercera ley de Newton, la cuerda también tira hacia abajo del anillo, y el anillo finalmente comienza a descender, figura (g). A medida que el anillo se mueve hacia abajo, ejerce una fuerza hacia abajo sobre la cuerda, como muestran las flechas en la figura (h). Las fuerzas hacia arriba y hacia abajo se propagan hacia la izquierda como el pulso que se muestra en la figura (i). El resultado neto de la interacción del pulso de la derecha con el anillo móvil es un pulso reflejado del mismo tamaño y forma que ahora se mueve hacia la izquierda con la misma velocidad de propagación. El pulso entrante estaba boca arriba y el pulso reflejado también estaba boca arriba. El anillo móvil al final de la cuerda actúa como la mano, moviéndose hacia arriba y hacia abajo para crear el pulso. y el pulso reflejado también está boca arriba. El anillo móvil al final de la cuerda actúa como la mano, moviéndose hacia arriba y hacia abajo para crear el pulso. y el pulso reflejado también está boca arriba. El anillo móvil al final de la cuerda actúa como la mano, moviéndose hacia arriba y hacia abajo para crear el pulso.

Tenga en cuenta que la mejor manera de comprender este comportamiento es considerar el caso más simple de solo "medio pulso". Genere un pulso simplemente moviendo la cuerda hacia arriba en alguna posición y deje que esto se propague hasta el extremo libre (vea su comportamiento), luego, en un momento posterior, baje la cuerda a su posición inicial. Esto será como un pulso muy largo, sin embargo, puede ver lo que sucede sumando las fuerzas en cada parte del pulso siguiendo sus respectivos reflejos desde el extremo libre.

Además, aquí hay una simulación para que todos puedan hacer el pulso muy largo y ver todas estas cosas en acción.
https://phet.colorado.edu/sims/html/wave-on-a-string/latest/wave-on-a-string_en.html

Esta pregunta es muy amplia, por lo que intentaré responder solo sus partes.

¿Por qué incluso tenemos reflejo? La impedancia de la cuerda es la clave. La onda en la cuerda alcanza el punto con discontinuidad de impedancia y, por lo tanto, se produce la reflexión. En su caso, hay una reflexión desde el "límite de impedancia cero". El ejemplo de libro de texto opuesto es el reflejo del "límite de impedancia infinita". Por supuesto, hay casos intermedios, por ejemplo (altamente teóricos) la terminación de la cuerda en un pistón con la misma impedancia que una cuerda. Por lo tanto, la onda en la cuerda seguiría "viajando".

Intuición en ese caso: hay una cantidad de energía transportada por la cuerda dividida entre desplazamiento (es decir, energía cinética) y tensión (es decir, energía potencial). En el extremo no unido propuesto no hay ningún factor que pueda causar un aumento de la tensión y por lo tanto (a partir de la conservación de la energía) resulte en un mayor desplazamiento.

¿Por qué para un extremo abierto la onda reflejada es una onda positiva y por qué para un extremo cerrado la onda reflejada es una onda negativa? Tal vez esta contrapregunta te ayude a entenderlo intuitivamente: ¿Cuál sería el factor o agente que gira la amplitud en la dirección opuesta? Porque "fin de impedancia infinita" es algo así como presente: la impedancia. ¿Pero para el "final de impedancia cero" ...?

¿Por qué la amplitud doble durante la reflexión? Trate de modelarlo (en su mente o numéricamente). Lo que está sucediendo. La onda es incidente pero al mismo tiempo refleja. Por lo tanto, es la suma de ambas ondas y en el intervalo de tiempo infinitamente pequeño cuando el máximo toca el límite, las amplitudes de las ondas incidente y reflejada son las mismas y, por lo tanto, la suma es la amplitud máxima multiplicada por dos.

Recomendación de la fuente: Recomiendo encarecidamente el libro Vibrations and Waves in Physics de Ian G. Main para obtener más intuición y una discusión más detallada.

Comencemos con la intuición que ya tienes, para una onda que viaja a lo largo de una cuerda continua. El movimiento transversal es el resultado de la tensión de ambos lados: uno, de donde proviene la excitación (o paquete de ondas), está tirando de un trozo de cuerda en el frente de la onda hacia afuera, mientras que el otro, donde la onda es solo a punto de llegar, está resistiendo este movimiento estando aún en reposo. Fuerzas similares pero opuestas se equilibran de tal manera que la excitación continúa viajando hacia adelante, dejando cualquier parte de la cuerda en reposo una vez que pasa por esa parte.

Si elimina el lado al que viaja la onda, obtiene una amplitud mayor porque falta esta mitad, que de otro modo resistiría el movimiento transversal. La otra mitad, desde donde llegó el paquete de ondas, será arrastrada más de lo que sería suficiente para simplemente terminar su movimiento después de que el paquete de ondas lo pasara si estuviera en el medio de la cuerda. Entonces tienes una nueva excitación en la que el extremo de tu cuerda está actuando sobre bits adyacentes de la misma cuerda: hay una nueva onda que viaja hacia atrás.

Si se da cuenta de que una cuerda perfecta para tales ondas será perfectamente elástica y, por lo tanto, conservará la energía mecánica, también puede argumentar que la energía transportada por su paquete de ondas debe continuar existiendo de alguna forma. La cuerda abierta momentáneamente estirada retrocederá naturalmente, lo que constituye una nueva onda (o, si lo prefiere, la anterior reflejada).

este es un extracto modificado de mi respuesta sobre ondas estacionarias en el sitio: shttps://electronics.stackexchange.com/questions/171723/confused-regarding-standing-waves-on-transmission-line La amplitud al final, sin carga, sería ser el doble que el del extremo de entrada, ya que de repente no hay una línea por delante para cargarlo, por lo que se sobrepasa. Así es como refleja la onda de vuelta desde un circuito abierto. Puedes ver lo mismo colgando una cuerda y golpeándola, para enviar un pulso hacia abajo. El extremo se levanta, tirando hacia arriba del extremo de la cuerda y enviando una onda positiva de regreso.

Para entender una línea con un corto al final, observe cómo un pájaro aterriza en el cable de alimentación de su casa. Inicialmente, empuja el cable hacia adelante, luego una onda viaja hacia el poste de energía y el cable se balancea como una cuerda de guitarra, enviando la onda hacia atrás como una onda negativa, sacudiendo al pájaro hacia atrás y luego hacia adelante a medida que la onda se refleja. la casa y regresa como una onda positiva. Aproximadamente cada 2 segundos, verá que el ave se sacude hacia adelante y hacia atrás a medida que la ola rebota en cada extremo. De manera similar, en una línea en cortocircuito, cuando la onda o pulso llega al final, la corriente cruza al otro conductor, devolviendo una onda de fase opuesta, o pulso de polaridad opuesta. Espero que esta analogía lo haga fácil de entender.