Solución de Kruskal al agujero negro

La métrica de Schwarzschild es una solución de las ecuaciones de Einstein, dada por

$$ds^2 = -f(r)dt^2+ \frac{dr^2}{f(r)} + r^2d\Omega^2$$ dónde $f(r) = (1 -\frac{2M}{r})$. Aquí M es un parámetro, que podría ser la masa de una estrella o un agujero negro. La métrica anterior describe la región vacía fuera de una fuente esférica y no es aplicable en una región ocupada por una fuente (como una estrella o un agujero negro).

Si el radio de la fuente es menor que$2M$entonces tenemos un problema. Esta métrica debería ser válida cerca de la región.$r = 2M$pero encontramos una singularidad como$f(2M) = 0$.

Afortunadamente, esta singularidad es solo una singularidad coordinada, en el sentido de que surge debido a nuestra mala elección de coordenadas. (A diferencia de la singularidad en$r = 0$). Entonces, para eliminar esta singularidad ficticia vamos a las coordenadas de Eddington Finkelstein que mencionaste.

No hay ningún problema particular con estas coordenadas, y cumplen el propósito para el que fueron inventadas. Pero estas coordenadas están incompletas en cierto sentido y pueden extenderse a las coordenadas Kruskal-Szekeres . Este proceso se denomina extensión de la métrica y, en este caso, la nueva métrica es una extensión máxima , es decir, no se puede extender más esta métrica.

Esto es muy similar al caso de extender las coordenadas de Rinder a las coordenadas inerciales usuales de Minkowski. Las coordenadas de rindler describen un observador que acelera, y la métrica tiene una singularidad ficticia. Cuando transformamos de Rindler a coordenadas inerciales, una observación clave que debemos hacer es que el espacio-tiempo se ha "duplicado". Las coordenadas de Rindler cubrieron solo la cuña derecha y la cuña futura del espacio-tiempo de Minkowski. Por lo tanto, las coordenadas de Rindler están incompletas para describir la estructura completa del espacio-tiempo plano y hay que extender las coordenadas.

Esto explica su pregunta de por qué usamos las coordenadas de Kruskal: son la extensión máxima de las coordenadas de Schwarzschild.