¿Qué sucede con el factor 2π2π2\pi en unidades naturales?

Una interpretación física de las unidades naturales es que usaremos fotones como dispositivos de medición. Podemos medir todas las cantidades en términos de la energía de un fotón:

• Cuando decimos que la masa de un protón es aproximadamente$1\ {\rm GeV}$, queremos decir si tomamos un fotón con energía$1\ {\rm GeV}$y de alguna manera convirtió esta energía por completo en el resto de la energía de algún trozo de materia, ese trozo de materia tendría una masa similar a la masa del protón.
• Cuando decimos que el radio de un protón es aproximadamente$(1\ {\rm GeV})^{-1}$? Significa un fotón con energía.$1\ {\rm GeV}$(y por lo tanto el impulso de$1\ {\rm GeV}$) tiene una longitud de onda reducida de aproximadamente$1$radio de protones.
• Cuando decimos que la vida útil de los neutrones es de aproximadamente$(5\times 10^{-18}\ {\rm eV})^{-1}$, nos referimos a un fotón con energía$5 \times 10^{-18}\ {\rm eV}$tiene un periodo reducido de unos 15 minutos. (En realidad, para ser totalmente honesto, nunca escuché a nadie citar la vida útil de los neutrones en eV en lugar de minutos, pero este ejemplo es solo para probar un punto)

Arriba notará que la longitud de onda del fotón$\lambda$y periodo$T$no aparecen, sino su longitud de onda reducida$\lambda_{\rm red}=\lambda/2\pi$y periodo reducido$T_{\rm red}=T/2\pi$. si hubiésemos puesto$h$en lugar de$\hbar$igual a uno, usaríamos la longitud de onda y el período reales, sin$2\pi$. Este es exactamente el factor de$2\pi$estás preguntando.

Habiendo dicho eso, la gente normalmente no piensa tanto en las unidades. Desde$2\pi$es adimensional, el punto clave es que cualquier tiempo tiene unidades de 1/energía, y factores de$2$y$\pi$salir en el lavado. El valor numérico específico se puede calcular una vez que fije todas sus convenciones en un cálculo dado.

Et tiene unidades de ℏ, por lo tanto, no hay unidades en el sistema natural, como sabrá por las fases de evolución de QM. Lo mismo vale para cualquier múltiplo de él.

Por lo tanto, la ecuación que conecta la energía de un fotón con su período,

$$E=\hbar \omega=\hbar ~2\pi/T~~~\leadsto ~~~ET=2\pi \hbar ~,$$ te dice que ET es igual a 2π en unidades de ℏ. En unidades naturales, es igual a 2π. Para llegar a las unidades de ingeniería, lo multiplicas por ℏ.

No todas las veces la energía tiene que ser igual a 1, como supusiste incorrectamente, y esta no es la ecuación que "define" ℏ. Dirac usó la ecuación de fase exponencial, efectivamente, para definir ℏ.