Teselación: ¿Qué significa la traza de una matriz de rotación?

El teorema de restricción cristalográfica dice que no se puede tener una red periódica con norte simetría de rotación de pliegues, con norte diferente de 1,2,3,4 y 6 (para 2D y 3D).

Hay muchas formas de demostrar el teorema, consulte el artículo de Wikipedia . Entiendo algunos de ellos, pero una de las pruebas dice así:

Considere una red periódica que es simétrica con respecto a norte -doblar rotaciones alrededor de un eje dado. La traza de la matriz asociada a la rotación espacial alrededor del eje dado es 2 porque ⁡ ( 2 π norte ) (2D) o 1 + 2 porque ⁡ ( 2 π norte ) (3D). Como la matriz de rotación asigna puntos de celosía a otros puntos de celosía, entonces la traza tiene que ser un número entero . La única solución a esta condición es norte ser igual a 1,2,3,4 o 6.

La solución y por qué la traza es así la entiendo simplemente escribiendo la matriz de rotación, pero me gustaría tener más información sobre por qué la traza tiene que ser un número entero para ser una representación de una operación de simetría de la red.

En general, ¿hay algún significado para trace=integer?

Trivia divertida: hecho probable: estoy bastante seguro de que esta prueba se debe a Donald Coexter, en un informe en gran medida negativo sobre un artículo que estaba revisando. El tema del artículo era este teorema, y ​​el artículo tenía muchas páginas. Toda la revisión de Coexter fue un breve párrafo, incluida su demostración del mismo teorema. Parece que no puedo encontrar la referencia para esto ahora mismo; la historia es bastante humorística (debido al lenguaje elocuente de Coexter al respecto).
Me gustaría verlo con mucho gusto. ¿Estaba criticando el teorema?
No, estaba criticando diplomáticamente, pero sarcásticamente, la extensión de la prueba del autor del artículo.

Respuestas (1)

Considere la transformación de un conjunto de vectores de traducción primitivos mi a , a = 1... d de un d retícula dimensional bajo rotación O :

O mi a = ∑ b = 1 d k a b   mi b .
Si la rotación es una simetría de una red, entonces los coeficientes k a b son enteros . Así matriz de rotación escrita en mi a base tiene elementos enteros y traza entera. Trace es invariante bajo transformaciones lineales. Por lo tanto, la matriz de rotación escrita en cualquier base tiene un rastro de entero.

¿Por qué los k_ab son enteros?
Porque O mi a es vector de traslación y mi a son vectores de traducción primitivos. Los sitios de una red se convierten en sitios de la misma red bajo transformación de simetría. Por eso O mi a es traducción.
O dicho de otra manera, si mi a son vectores de traducción primitivos, entonces TODOS los puntos de red se pueden escribir como una suma de valor entero * mi a . Eso es lo que lo convierte en un enrejado.
@Gec, ¿no hay problema si tu base no es ortogonal?
@Mauricio no, no hay problema. Trace es invariante bajo cualquier transformación lineal, no solo ortogonal.
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