Teoría cuántica de campos constructiva vs algebraica

Los resultados no-go de Algebraic and Constructive QFT que mencionas tratan asuntos relacionados pero ligeramente diferentes.

( Editar: la versión anterior del siguiente párrafo era un poco engañosa: el teorema de Haag es en realidad más fuerte de lo que dije antes; consulte los detalles a continuación)

• El teorema de Haag (que en realidad es ligeramente anterior al inicio de la QFT algebraica) nos dice que no podemos escribir dinámicas de imágenes de interacción dentro de los espacios de Hilbert, que son representaciones de campo libre de los CCR. Esto no es lo mismo que decir que la dinámica de interacción no existe en absoluto; simplemente dice que no podemos implementarla como operadores unitarios en la imagen de interacción . Esto se hace mostrando que la posibilidad de hacerlo en algún espacio de Hilbert implica que estamos tratando con una representación de campo libre de los CCR. El argumento se cierra con un resultado de "trivialidad suave" de Jost, Schroer y Pohlmeyer argumentando que este último implica que todo truncado$n$Las funciones de punto se anulan para$n>2$, por lo tanto, el campo es realmente libre; en particular, la "interacción hamiltoniana" es cero.

Esto tiene consecuencias tanto para la teoría de la dispersión como para los intentos de construir rigurosamente modelos teóricos de campos a partir de campos libres. En el primer caso, el teorema de Haag es eludido por los formalismos de dispersión LSZ o Haag-Ruelle, que obtienen la matriz S tomando límites de tiempo infinitos respectivamente en el sentido débil (elementos de la matriz) y fuerte (vectores espaciales de Hilbert). Recuerde que ambas configuraciones requieren la suposición de una brecha de masa en el espectro conjunto de energía-momentum (es decir, una capa aislada de masa distinta de cero), de lo contrario nos encontramos con la notoria "catástrofe infrarroja", que se trata utilizando "sin retroceso". (es decir, Bloch-Nordsieck) métodos de aproximación en la teoría de la perturbación formal, pero sigue siendo un desafío en un entorno más riguroso, salvo en algunos modelos no relativistas. En el segundo caso,no es equivalente a los de campo libre. Dado que las teorías de campo que viven en todo el espacio-tiempo tienen infinitos grados de libertad, el teorema de unicidad de Stone-von Neumann ya no se cumple (en realidad, el teorema de Haag puede verse como una manifestación de este mecanismo de falla particular) y, por lo tanto, tales representaciones deberían existir. En abundancia. Motivado por estos resultados, Algebraic QFT fue diseñado con un enfoque en los aspectos estructurales (es decir, "independientes del modelo") de QFT de una manera que no depende de una representación particular; por otro lado, también se puede intentar explorar esta abundancia de representaciones para construir modelos con rigor, lo que nos lleva al ámbito de la QFT constructiva.

• Los resultados de "existencia" (también conocido como "no trivialidad") y "no existencia" (también conocido como "trivialidad") en QFT constructivo nos dicen qué interacciones sobreviven después de la renormalización no perturbativa. Más precisamente, usted construye modelos teóricos de campo de una manera matemáticamente rigurosa considerando primero teorías de interacción "truncadas" (es decir, con cortes UV e IR), y luego quitando cuidadosamente los cortes en una secuencia de operaciones controladas. El modelo resultante puede interactuar (es decir, "no trivial") o no (es decir, "trivial"), en el sentido de que está truncado$n$-funciones de correlación puntuales para$n>2$puede ser respectivamente no evanescente o no. En el primer caso, cualquier representación de los CCR en el espacio de Hilbert donde vive el vector de estado de vacío que interactúa es necesariamente no equivalente a uno de campo libre; en particular, uno no puede escribir las dinámicas que interactúan como operadores unitarios en la imagen de interacción, de acuerdo con El teorema de Haag. En el segundo caso, realmente obtiene una representación de campo libre de los CCR, pero aquí porque la renormalización ha eliminado por completo la interacción.

Finalmente, es importante notar que la trivialidad de un modelo puede deberse a razones no relacionadas con el mecanismo subyacente del teorema de Haag. Este último, una vez más, es consecuencia de tener un número infinito de grados de libertad en volúmenes infinitos (este teorema no se cumple "en una caja", por ejemplo), mientras que el primero suele derivar de una interacción que tiene un carácter demasiado singular. comportamiento a corta distancia, como se argumenta en el párrafo anterior. Esto puede entenderse intuitivamente por la singularidad (local) y la integrabilidad (global) de las funciones de Green del campo libre: cuanto menor es la dimensión espacio-temporal, mejor es el comportamiento singular (UV) y peor el comportamiento de integrabilidad (IR), y viceversa. Esa es la razón subyacente por la que$\lambda\phi^4$Los modelos escalares son súper renormalizables en 2 y 3 dimensiones (que solo tienen gráficos de Feynman de renacuajo como divergentes en 2 dimensiones) y no perturbativamente triviales en$>4$dimensiones.

Ah, casi me olvido de las referencias: en mi opinión, la mejor discusión sobre los resultados de trivialidad en QFT desde un punto de vista riguroso es el libro de R. Fernández, J. Fröhlich y AD Sokal, "Random Walks, Critical Phenomena, and Trivialidad en la Teoría Cuántica de Campos" (Springer-Verlag, 1992), especialmente el Capítulo 13. Allí los dos resultados de "trivialidad dura" anteriores para$\lambda\phi^4$Se discuten modelos y "resultados de trivialidad suave" como el teorema de Jost-Schroer-Pohlmeyer (que subyace al teorema de Haag, como se mencionó al comienzo de mi respuesta). El libro no es exactamente para los débiles de corazón, pero las primeras secciones de este capítulo proporcionan una buena discusión de los enunciados de los teoremas, antes de pasar a las demostraciones de los resultados de "trivialidad dura" anteriores. Para una discusión detallada de los teoremas de Jost-Schroer-Pohlmeyer y Haag, así como sus demostraciones, recomiendo el libro de JT Lopuszanski, "An Introduction to Symmetry and Supersymmetry in Quantum Field Theory" (World Scientific, 1991). El libro clásico de RF Streater y AS Wightman, "PCT, Spin and Statistics, and All That" (Princeton Univ. Press) también analiza estos dos resultados.