Término cinético SU(2) como una traza

La traza es solo el producto interno del álgebra de Lie. Las intensidades de campo se valoran en álgebra de Lie, es decir,$\mathbf{F}_{\mu\nu}$es un elemento del álgebra de Lie y se puede escribir como una combinación lineal de generadores:$\mathbf{F}_{\mu\nu} = \sum_a F^a_{\mu\nu} t^a$. Normalmente se normalizan los generadores de tal manera que$\left \langle t^a, t^b\right\rangle = \operatorname{tr} t^a t^b = c \delta^{ab}$, para alguna constante$c$, de donde se obtiene$\operatorname{tr} \mathbf{F}_{\mu\nu}\mathbf{F}^{\mu\nu} = F^a_{\mu\nu} F^{a\mu\nu}$.

La motivación para esto es que un escalar calibrado hipotético del campo de espinor se acopla a$N$campos de medida$A^a$a través de la derivada covariante, y cada uno de estos$N$los campos de calibre obtienen su propio término cinético de la forma$F_{\mu\nu} F^{\mu\nu}$.

Esto es lo que me confundió (simplemente era demasiado perezoso para ponerme a trabajar). Lo que responde a mi pregunta es el siguiente álgebra simple: comenzando con la traza, encontramos*

$$\mathrm{tr}\left\{\left(\vec{F}_{\mu\nu}\cdot\frac{\vec{\tau}}{2}\right)^2\right\} = \mathrm{tr}\left\{\left({F}^1\cdot\frac{{\tau}^1}{2}+\cdots\right)\left({F}^1\cdot\frac{{\tau}^1}{2}+\cdots\right)\right\} \\[1cm]= \mathrm{tr}\left\{\left(F^1 F^1\frac{{(\tau}^1)^2}{4}+\underbrace{F^1 F^2\frac{{(\tau}^1\tau^2)}{4}+F^2 F^1\frac{{(\tau}^2\tau^1)}{4}}_{0}+\underbrace{\cdots}_{_{0+F^2 F^2\frac{{(\tau}^2)^2}{4}}}+F^3 F^3\frac{{(\tau}^3)^2}{4}\right)\right\} \\[1cm]=^\dagger \mathrm{tr}\left\{\left(F^1 F^1\frac{{(\tau}^1)^2}{4}+F^2 F^2\frac{{(\tau}^2)^2}{4}+F^3 F^3\frac{{(\tau}^3)^2}{4}\right)\right\} \\[1cm]=\frac{1}{4}\vec{F}_{\mu\nu}\cdot\vec{F}^{\mu\nu}\mathrm{tr}\{\mathbb{1}_{2\times2}\} \\[1cm]=\frac{1}{2}\vec{F}_{\mu\nu}\cdot\vec{F}^{\mu\nu}.$$

La relación

$$\tau_a \tau_b = i\sum_c\varepsilon_{a b c}\,\tau_c + \delta_{a b}I$$ fue usado en $\dagger.$

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* Supresión de los índices de Lorentz para no saturar.