En qué medida las funciones de correlación determinan la teoría (y lagraniana)

Los observables de la teoría son, en primer lugar, los del álgebra$\cal A$(técnicamente un$^*$-álgebra con unidad) de objetos generados por los campos difuminados$\phi(f)$. Me refiero a combinaciones lineales de$I$y productos de campos untados$\phi(f)$, dónde$f$es una función suave de valor complejo con soporte compacto. Esta álgebra se puede ampliar incluyendo objetos renormalizados como$\phi^n(f)$de$T_{\mu\nu}(f)$etcétera. Cuando está equipado con las funciones de correlación, puede calcular todos los valores esperados de los elementos de$\cal A$. P.ej,

$$\langle \phi(f)\phi(g) \rangle = \int_{M\times M} G(x_1,x_2) f(x_1)g(x_2) d^nx_1 d^nx_2\:.$$ Entonces las funciones de correlación determinan un estado $\langle \cdot \rangle$en el álgebra $\cal A$. Hay un teorema correspondiente que lo asegura dado el mapa lineal $\langle \cdot \rangle : {\cal A} \to C$es positivo, es decir $\langle A^*A \rangle \geq 0$para $A\in \cal A$, el llamado teorema GNS. Ese teorema también garantiza que existe un espacio de Hilbert (definido de manera única hasta equivalencias unitarias) donde todo puede representarse de la manera estándar (los elementos de $\cal A$son operadores, $\langle \cdot \rangle$corresponde a un valor esperado de la forma $\langle \Psi| \cdot |\Psi\rangle$). El estado encontrado se puede extender al álgebra extendida incluyendo objetos renormalizados, pero aquí el procedimiento se complica y no entro en detalles. Resumiendo: Sí, bajo ciertas hipótesis leves, la clase de funciones de correlación determina únicamente la teoría cuántica. No hay garantía, sin embargo, de la existencia de un Lagrangiano que describa la teoría encontrada. En este sentido, las funciones de correlación son más fundamentales que la lagrangiana.