Modos de una QFT y representación irreducible del grupo calibre

Esto es en referencia al cálculo en la sección 3.3 a partir de la página 20 de este documento .

  • Encontré un argumento que parece decir que la "restricción de la ley de Gauss" impone la teoría de calibre en espacios compactos para que los estados físicos sobre los que se suma la función de partición sean invariantes de calibre.

Me gustaría escuchar explicaciones sobre el argumento anterior.

  • Además, lo anterior parece llevar (de manera bastante no obvia para mí) a la conclusión de que estos estados físicos corresponden a rastros de productos de operadores que actúan sobre el vacío espacial de Fock. No me queda claro cómo se define este rastro de modo que, incluso después del rastreo, sigue siendo un operador.

{Muy a menudo uno parece querer que estos operadores estén en el "junto de" el grupo de indicadores. El significado y la motivación de esta demanda no me queda claro. (Estoy familiarizado con la noción de representación adjunta de grupos de Lie)}

  • Relacionado con lo anterior, hay otra afirmación que veo que parece decir que los modos sin masa estarán ausentes para cualquier grupo de calibre de la teoría de Yang-Mill y cualquier contenido de materia si la teoría está en un espacio compacto. ¿Es correcto lo anterior? ¿Por qué (ya sea sí o no)?

  • En tales escenarios, ¿la terminología de "excitaciones básicas" de una teoría es lo mismo que los estados de una sola partícula? ¿Cómo se relacionan estos estados de una sola partícula en general con los estados físicos construidos anteriormente?

¿A cuál de estos se refiere cuando la gente habla de "modos" de un QFT?

  • Si hay una simetría de calibre por definición, conmutará con el hamiltoniano y, por lo tanto, los estados de la teoría en cada nivel de energía formarán una representación del grupo de calibre. ¿Se puede decir algo sobre su reducibilidad o no?

La afirmación parece ser que si los hay dicen norte mi cuantos a nivel de energía mi (transformándose bajo, digamos, representación R mi del grupo de calibre), luego, al contar su contribución a la función de partición, el factor de Boltzman debe ponderarse aún más por el número de 1 representaciones dimensionales ("singletes"?) en el norte -pliegue simétrico (para bosones) o antisimétrico (para fermiones) poder tensorial de R mi .

Me encantaría saber de las explicaciones de lo anterior.

Tal vez me estoy perdiendo algo obvio, pero ¿los estados físicos en una teoría de calibre no siempre tienen que ser invariantes de calibre?

Respuestas (1)

Son muchas preguntas pero tienen respuestas bastante fáciles, así que aquí están:

  • La ley de Gauss es simplemente división  D → = ρ en electrodinámica. Tenga en cuenta que no contiene derivadas temporales, por lo que no es realmente una ecuación que describa la evolución: es una ecuación que restringe las condiciones iniciales permitidas. En términos más generales, es la ecuación de movimiento que se obtiene al variar el Lagrangiano con respecto a A 0 , el componente temporal del campo de norma, por lo que la ecuación de movimiento correspondiente cuenta la divergencia del campo eléctrico menos las fuentes eléctricas (densidad de carga) que deben ser iguales. Esta diferencia no es más que el generador del conjunto tu ( 1 ) grupo, o cualquier otro grupo, si considera teorías más generales, por lo que la ecuación clásica anterior se promueve a la ecuación cuántica en la que ( división  D → − ρ ) | ψ ⟩ = 0 lo que significa que el estado | ψ ⟩ es calibre-invariante.

  • Los rastros que está encontrando aquí, en teorías no abelianas, son solo rastros sobre índices fundamentales (o, con menos frecuencia, adjuntos) del grupo Yang-Mills. Son diferentes a las huellas sobre el espacio de Hilbert. Debe distinguir diferentes tipos de índices. Trazar sobre algunos índices de color no cambia el hecho de que aún tiene operadores.

  • "Conjunto de un grupo de calibre" es claramente lo mismo que "Representación adjunta del grupo de Lie que se usa para el grupo de calibre".

  • No es cierto que todos los espacios compactos eliminen todos los campos sin masa; por ejemplo, la línea de Wilson de un campo de norma sigue siendo un campo escalar perfectamente sin masa en compactaciones toroidales en teorías supersimétricas, pero en la mayoría de los demás casos genéricos, es cierto que la compactación destruye la falta de masa. de todos los campos. Todos los componentes de Fourier (o normales distintos de cero) de los campos que no son triviales y dependen de las dimensiones adicionales (los modos de Kaluza-Klein) se vuelven masivos debido al impulso adicional en las dimensiones adicionales. Pero incluso los "modos cero" se vuelven masivos en las teorías generales debido a los potenciales similares a los de Casimir que resultan de la compactación.

  • Las excitaciones básicas no son "lo mismo" que los estados de una partícula. De hecho, queremos usar la palabra "excitación" exactamente en el contexto cuando el objetivo es describir estados arbitrarios de múltiples partículas. Pero las excitaciones básicas son solo los operadores de creación (y los operadores de aniquilación correspondientes) construidos por Fourier, transformando los campos que aparecen en el Lagrangiano, o que son elementales de manera similar.

  • No ha construido ningún "estado específico arriba", por lo que no puedo decirle cómo se relacionan otros estados que no ha descrito. En este sentido, su pregunta sigue siendo vaga. Todos ellos son algunos estados con partículas en el espacio de Hilbert, pero casi todos los estados pueden clasificarse de esta manera.

  • Un modo de un campo cuántico es el término en algún tipo de descomposición de Fourier o, para compactaciones y antecedentes más generales, otro término (como el armónico esférico) que es un estado propio de energía, es decir, que evoluciona como Exp ⁡ ( mi norte t / i ℏ ) con tiempo. Así por ejemplo, un campo X ( σ ) para un periodico σ puede escribirse como la suma siguiente. Los términos individuales para un fijo norte - o el factor X norte o la función que lo multiplica (esta terminología depende un poco del contexto) - se llaman modos.

    ∑ norte ∈ Z X norte Exp ⁡ ( i norte σ − i | norte | τ )

  • La simetría de calibre tiene que conmutar con el hamiltoniano porque queremos prohibir los estados de calibre no invariante, y al prohibirlos en el estado inicial, también deben estar ausentes en el estado final. Así que tiene que ser una simetría. Por otro lado, la teoría de la representación es trivial porque, como dije al principio, requerimos que los estados físicos sean invariantes de calibre; ese fue el comentario sobre la ley de Gauss: los estados tienen que ser aniquilados por todos los operadores del tipo división  D → − ρ que son solo generadores del grupo de calibre en varios puntos. En otras palabras, todos los estados físicos tienen que ser singletes bajo el grupo de calibre. Es por eso que el término "simetría" es algo engañoso: algunas personas prefieren llamarlo "redundancia de calibre". Entonces, el espacio de Hilbert es seguramente completamente reducible, a un número arbitrario de singletes. Puede reducirlo a las piezas más pequeñas que existen en álgebra lineal: espacios unidimensionales.

  • Te acabo de explicar de nuevo por qué todos los estados físicos son singletes bajo el grupo calibre. El hecho de que norte -los estados de partículas con partículas idénticas son completamente simétricos o completamente antisimétricos se reduce a la idea básica de que en la teoría cuántica de campos, las partículas son idénticas y su función de onda tiene que ser simétrica o antisimétrica (para bosones y fermiones) porque los operadores de creación correspondientes conmutan (o anticonmutación) entre sí.

@Lubos Muchas gracias por esta hermosa explicación. Parece argumentar que la invariancia de calibre obliga a cada uno de los "estados físicos" (sobre los cuales se suma la función de partición) a estar en subrepresentaciones unidimensionales del grupo de calibre en el poder tensorial adecuadamente simetrizado de los espacios de Hilbert de una partícula. ¿derecho? ¿Puede confirmar amablemente si mi comprensión es correcta?
@Lubos Entonces, una colección de n fermiones en un cierto nivel de energía puede estar en cualquiera de las subrepresentaciones unidimensionales del grupo de calibre en el poder del tensor antisimétrico n-fold del espacio de estados de Hilbert de cualquiera de los fermiones. Entonces, ¿estos singletes diferentes de n fermiones son indistinguibles en todos los sentidos?
@Lubos ¿Puede explicar cómo esta noción de "estados físicos" invariantes de calibre (que pueden contener un número arbitrario de partículas) es diferente de la terminología de "excitaciones" que también parece contener estados de múltiples partículas?
@Lubos Además, si pudiera dar un ejemplo de la forma correcta de escribir los índices de los operadores QFT teniendo en cuenta sus índices de calibre y los índices de espacio de Hilbert para que quede claro que rastrear el primer tipo todavía nos deja con operadores.
Estimado @Anirbit, espero que tu interpretación sea correcta aunque es posible que ocultes algo que no puedo ver. ;-) Simplemente descomponga cualquier posible representación del grupo de indicadores en repeticiones irreducibles y los estados físicos pueden ser solo los singuletes. No entiendo muy bien qué tiene que ver la invariancia de calibre con la naturaleza idéntica de los fermiones, estas son dos reglas independientes. Las restricciones de invariancia de calibre restringen los estados físicos "localmente", pero cuando crea varios fermiones en diferentes lugares, la onda total funcional sigue siendo antisimétrica.
Estimado Anirbit, nunca escribimos operadores en QFT, y de hecho, ni siquiera en QM, con sus "índices de espacio de Hilbert". El hecho de que sean operadores a veces se indica con un sombrero sobre el símbolo (letra), pero a menudo también se omite. El objetivo principal es hablar de "operadores" en lugar de "matrices" para que podamos hacer que las ecuaciones sean independientes de las bases, de modo que no tengamos que hablar sobre elementos de matrices particulares todo el tiempo. P.ej a † ( k ) es un operador de creación que tiene ciertos elementos de matriz con respecto a cualquier base pero no necesitamos escribir todos estos números todo el tiempo.
Los trazos pueden seguir siendo trazos sobre los índices del grupo de indicadores y/o sobre el espacio de Hilbert (¡y un trazo de un operador siempre es independiente de la elección de la base!), y debe averiguarlo a partir del contexto o la notación detallada: "tr " vs "Tr" y así sucesivamente - cuál es cuál. Por ejemplo, Tr  ( ρ . . . ) siempre es una traza sobre el espacio de Hilbert, mientras que las trazas con muchos F m v o A m en el interior probablemente haya rastros sobre los índices del grupo de calibre. Está preguntando sobre una notación, que puede diferir.
@Lubos ¿Debería pensar en los operadores actuando sobre un producto tensorial del espacio de hilbert y la representación del grupo de calibre? Entonces, ¿ese rastro en este sentido significaría rastrear sobre el componente posterior del producto tensorial? Con respecto a su primer comentario, quería decir que la demanda de invariancia de calibre en los "estados físicos" juega al determinar la representación en cuyo poder de tensor simétrico o antisimétrico se debe buscar.
Estimado Anirbit, a partir de su pregunta, no puedo determinar de qué rastro está hablando, así que no puedo decirle de qué está rastreando. Deberías saberlo. Depende de "la situación", pero no me has dicho cuál es la situación. Con respecto a los productos tensoriales, la invariancia de calibre tiene el efecto de eliminar las polarizaciones no físicas del fotón (y de manera similar gluones, bosones W/Z y gravitones en GR). La invariancia de calibre tiene generadores "en cada punto", por lo que esto implica efectivamente que cada fotón en un estado de múltiples cuerpos tiene que ser invariante de calibre por separado. ¿Era lo que estabas preguntando?
@Lubos Motl ¿Puede explicar un poco más por qué la Ley de Gauss (ecuaciones de movimiento de A 0 ) impone la condición de singlete de color solo cuando está en un espacio compacto (¿-tiempos?) Y no en un espacio plano? Entonces, en el espacio (¿-tiempos?) compacto, ¿el confinamiento es una consecuencia de la ley de Gauss? Y con referencia al documento, ahora he vinculado cuál es la definición de esta energía/modo fundamental mi i de un campo que parece quedar totalmente determinado por la representación R i en que se encuentra ese campo?
Modos de una QFT y representación irreducible del grupo calibre
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