¿Qué novedades tiene el Modelo de Heisenberg en comparación con el Modelo de Ising?

Tanto el modelo de Ising como el de Heisenberg describen redes de espín con interacción en los primeros vecinos. El hamiltoniano en cada caso es bastante similar, a pesar de tratar a los despines como variables Ising (1 o -1) o como operadores cuánticos. En el caso de Ising parece

H Yo canto = −   j ∑ ⟨ i   j ⟩ s i z   s j z

donde J es la constante de acoplamiento ( j > 0 para ferromagneto y j < 0 para antiferromagnético), ⟨ i   j ⟩ representa la suma sobre los primeros vecinos y s z es el espín en la dirección z. Por otro lado, el modelo de Heisenberg es

H Heisenberg = −   j ∑ ⟨ i   j ⟩ S ^ i ⋅ S ^ j

donde la única diferencia radica en que los giros son operadores. (En ambos casos eliminé la interacción con un campo externo por simplicidad)

Mi pregunta es: ¿Qué nuevos fenómenos trae el tratamiento de los giros como operadores? Puedo ver eso S ^ i   .   S ^ j tiene en cuenta el giro en todas las direcciones y no solo en z, pero no puedo ver la implicación física de eso.

La pregunta se siente un poco amplia (y además, la pregunta en el título es diferente de la pregunta en la pregunta). Básicamente, está solicitando una lista que no se ajusta bien al formato del sitio. Podría intentar reducirlo: ¿Qué tipo de propiedades le interesan (o no) y por qué?
Tienes razón, fue un poco vago... ¡lo siento! Estoy específicamente interesado en dos cosas. Comprender por qué el modelo de Heisenberg tiene soluciones de ondas de espín mientras que el modelo de ising no las tiene y cómo son las transiciones de fase en ambos modelos.
Ah, entonces, ¿por qué no (i) reduce su pregunta a UNO de estos o (ii) publica una nueva pregunta? Recuerde que la idea de este sitio es construir algún tipo de base de conocimientos de preguntas y respuestas. Cuanto más específicas sean las preguntas, mejor servirán como referencia para futuros usuarios.
Con respecto a "Comprender por qué el modelo de Heisenberg tiene soluciones de ondas de espín mientras que el modelo de ising no las tiene ", las ondas de espín requieren una simetría continua, ¡así que solo tienen sentido en el modelo de Heisenberg en primer lugar!
muchas gracias por sus respuestas. ¿Qué significa "Las ondas de espín requieren simetría continua"?
He leído ese artículo de wikipedia, no pensé que diera una explicación del requisito de simetría continua.
Del artículo de Wikipedia: "A partir de esta explicación, se puede ver por qué el modelo de imán de Ising con simetría discreta no tiene ondas de espín: la idea de propagar una perturbación en la red de espín en una longitud de onda larga no tiene sentido cuando los espines tienen solo dos orientaciones posibles. " En esencia: puede hacer un ansatz de onda de espín para el modelo de Ising, pero no tiene sentido hacerlo: cambiar localmente un espín ya es un estado propio. Pero si tiene una pregunta más específica sobre la teoría de las ondas de espín, debe hacer una nueva pregunta: los comentarios se pueden eliminar en cualquier momento.

Respuestas (2)

Como esta es una pregunta similar a una lista, permítanme enumerar algunas cosas (sin mucha discusión, siéntase libre de hacer preguntas específicas sobre puntos individuales). Cada ítem menciona qué tiene el modelo de Heisenberg (HM) frente al modelo de Ising (IM).

  • simetría continua versus simetría discreta

  • como consecuencia: excitaciones sin espacios siempre que se rompa la simetría (es decir, en todos los casos excepto el antiferromagnético 1D; en ese caso, sin embargo, hay modos sin espacios debido al teorema de Lieb-Schultz-Mattis)

  • como consecuencia de ello: no hay ruptura espontánea de simetría en una y dos dimensiones a temperatura finita (a diferencia del 2D HAFM), este es el teorema de Mermin-Wagner

  • términos no conmutativos: los estados propios normalmente no tendrán una forma simple (a diferencia del IM, que tiene términos conmutativos)

  • el hamiltoniano IM tiene valores propios enteros (veces j ), mientras que no podemos caracterizar fácilmente los valores propios del HM

Algunas advertencias, sin embargo:

  • algunas de estas propiedades se mantienen debido a la simetría continua frente a la discreta, en lugar de la clásica frente a la cuántica

  • algunas de las propiedades se mantienen debido a la conmutación frente a la no conmutación en lugar de la simetría discreta frente a la continua

  • algunas de estas propiedades solo son válidas para celosías (infinitas), otras ya en el nivel de solo unos pocos giros

Excelente. Me vienen a la mente dos más: (1) el HM (al menos cuando j < 0 siguiendo la convención OP) nunca se puede conectar sin problemas a un estado fundamental clásico (mientras se preserva la simetría continua del hamiltoniano), incluso cuando el estado fundamental rompe espontáneamente la simetría, y (2) debido a sus efectos cuánticos más grandes, el HM puede tienen fases distintas a las que rompen espontáneamente su simetría de espín (o la fase trivial), como el orden del enlace de valencia (rompiendo espontáneamente la invariancia de traducción) o incluso la física líquida de espín (que no rompe ninguna simetría y tiene excitaciones fraccionarias emergentes).
@RubenVerresen No estoy seguro de seguir completamente el razonamiento detrás de la primera declaración (aunque estoy un poco de acuerdo con ella) ... ¿Tiene un entramado específico en mente o es una declaración general? Por ejemplo, ¿qué pasaría en infinitas dimensiones? Con respecto a (2), tenga en cuenta que también el Ising AFM tiene una física más rica en redes frustradas.
Gracias por aclararme (2). Me pregunto hasta qué punto se podría argumentar que la física HM es estrictamente más rica que la física IM en términos de posibles fases. En cuanto a (1) fue un caso de pensar en voz alta, pero en el caso de ruptura de simetría espontánea, argumentaría lo siguiente: si comenzamos con un estado fundamental de Neel y solo permitimos cambios suaves que preservan el S O ( 3 ) simetría, entonces la teoría de baja energía tiene que permanecer lineal. Por lo tanto, es suficiente argumentar la afirmación quizás más natural de que un estado fundamental clásico nunca puede tener modos de baja energía con una dispersión lineal.
No sé cuál es la forma más eficiente de argumentar la última afirmación, pero me imagino usando eso, dado que la teoría de baja energía se describe básicamente mediante un campo relativista sin masa, sabemos que su entrelazamiento en el estado fundamental debe obedecer a una determinada ley de escala (y en particular sea distinto de cero). Sería interesante probar la afirmación más general: "El estado fundamental del AFM de Heisenberg --en cualquier red-- nunca puede conectarse sin problemas a un estado fundamental clásico mientras se conserva S O ( 3 ) simetría". Al menos no puedo imaginar un contraejemplo, pero es posible que me falte creatividad :)
@RubenVerresen "si comenzamos con un estado fundamental de Neel", ¿significa que asume una red cuadrada? En ese caso, dado que el modelo no tiene espacios, no estoy seguro de qué quiere decir exactamente con "conectado sin problemas" (ya que supongo que "estado fundamental clásico" significa con espacios). Pero, ¿y si tenemos un modelo en una red donde, digamos, se dimeriza?
Correcto, estaba trabajando en el caso en que hay una ruptura de simetría espontánea de la S O ( 3 ) . Estoy de acuerdo en que 'conectado suavemente' es un poco vago, le daría su significado intuitivo: la física no debería cambiar discretamente (lo que sigue siendo vago, por supuesto). Y no supondría que el "estado fundamental clásico" significa vacío, por ejemplo, pensando en Heisenberg FM. Por "clásico" quiero decir que no hay enredo en el estado fundamental. Ahora que lo pienso, en caso de que el estado fundamental no se rompa S O ( 3 ) (pero, por ejemplo, rompe la simetría de traducción), entonces ni siquiera podemos escribir un estado clásico, ¿verdad?
@RubenVerresen Bueno, depende de lo que quieras decir con "sin enredos". Uno podría argumentar razonablemente que un estado dimerizado de "dibujos animados" que consiste solo en singletes NN "no tiene entrelazamiento", ya que no hay entrelazamiento no trivial: después de un paso RG en el espacio real, ¡es un estado de producto completo!
Estoy de acuerdo, sin embargo, me pregunto: ¿no solemos requerir tal bloqueo para preservar las simetrías relevantes? Entonces, si consideramos una fase en la que la simetría de traducción se rompe espontáneamente por la dimerización, entonces es posible que no queramos realizar ese paso RG, ¿verdad? Después de todo, eso habría cambiado la fase de 'romper la simetría' a 'trivial'.

Una de las principales diferencias es que el modelo de Ising se basa en una simetría discreta (la Z 2 simetría) mientras que el modelo de Heisenberg se encuentra en uno continuo (simetría rotacional). Afectará a las transiciones de fase que experimentan estos modelos.

En particular, debido al teorema de Mermin-Wagner , no puede haber una transición de fase de temperatura finita del modelo de Heisenberg en d = 2 (dejando de lado el caso muy especial de la transición BKT).

Este no es el caso del modelo de Ising que sufre una transición de fase a temperatura finita desde una alta T estado desordenado a un nivel bajo T estado ordenado en d = 2 (La solución exacta incluso ha sido calculada por Onsager y luego por otros).

Probablemente haya mucho más que este caso en particular, no dude en editar mi respuesta si tiene ganas de agregar algo.

Si no me equivoco, el modelo de Heisenberg tampoco exhibe la dualidad de Kramers-Wanier en d= 2 a diferencia del modelo de Ising.
No sé acerca de esta dualidad, siéntase libre de editar mi respuesta o publicar otra al respecto :)
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