Teoría de Seiberg-Witten y Superconductividad

La conexión entre la superconductividad y la teoría de Seiberg-Witten puede entenderse mediante la observación de que la superconductividad está relacionada con el efecto Meissner, que es la exclusión de las líneas de campo magnético de un superconductor. La teoría de Seiberg-Witten se basa en el análisis del espacio de módulos de un$\mathcal{N}=2$teoría supersimétrica de Yang-Mills. Resulta que la teoría contiene monopolos que adquieren un valor esperado de vacío distinto de cero, lo que puede interpretarse como una versión del efecto Meissner. Creo que no se puede dar una explicación matemática completa dentro de una respuesta, prefiero referirme a la literatura. El libro "Supersimetría moderna" de John Terning ofrece una buena descripción general de la teoría de Seiberg-Witten; también se analiza el efecto Meissner.

Hay una relación muy directa que responde a su pregunta, y la expondré de la forma en que la aprendí por primera vez (pero puede derivar una conexión diferente al pasar entre dimensiones):

La reducción bidimensional de las ecuaciones de Seiberg-Witten son las ecuaciones de vórtice (abelianas).

El$SU(2)$-ecuaciones de vórtice en$\mathbb{R}^2$son una ecuación de Yang-Mills-Higgs, y es una versión bidimensional de la superconductividad, que en realidad se define en$\mathbb{R}^3$con$G=U(1)\subset SU(2)$. Aquí las ecuaciones YMH son precisamente las ecuaciones de Landau-Ginzburg y$\phi$representa un par de Cooper (un estado ligado de dos electrones). Las soluciones mínimas para esto tienen$0=D_A\phi=d\phi+A\phi$y por lo tanto$0=D_A^2=F_A$que representa físicamente el efecto Meissner (la expulsión de campos magnéticos de la mayor parte de un superconductor). Aquí$\phi$toma valor constante$|\phi|=1$; perturbando este mínimo$\phi=1+h$y expandiendo las ecuaciones LG a primer orden en$h$produce dos EDO amortiguadas (una para$h$, uno para$A$) cuyas soluciones proporcionan la longitud de correlación (del par de Cooper) y la profundidad de penetración (del campo magnético).

Es posible que haya oído hablar de "monopolos" en relación con la teoría SW. Esto se debe a que la reducción tridimensional de las ecuaciones de Seiberg-Witten son las ecuaciones de Bogolmony (abelian) que definen los monopolos. Como anteriormente,$SU(2)$Los vórtices y los monopolos están inherentemente relacionados y están dictados por un$SU(2)$Teoría de Yang-Mills-Higgs sobre$\mathbb{R}^n$para$n=2,3,4$(el$n=4$El caso exhibe una relación con los "instantones de Donaldson"). Tomará más tiempo discutir las relaciones exactas con todo lo que he murmurado (por ejemplo, las ecuaciones tridimensionales que describen monopolos y también superconductores son ligeramente diferentes, dependiendo de la existencia de un potencial y el tipo de representación (para el grupo de calibre ) tu usas).