¿Por qué la amplitud de túnel WKB es un resultado no perturbativo?

Question

¿Por qué la amplitud de túnel WKB es un resultado no perturbativo?

Física
semiclásico
no perturbativo
mecánica cuántica
tunelización cuántica
teoría de la perturbación

SRS

La amplitud de tunelización obtenida de la aproximación WKB viene dada por

| T (mi) | = Exp {- \frac{1}{ℏ} \int_{X_{1}}^{X_{2}} d X [2 (V (X) - mi)]^{1 / 2}} [1 + O (ℏ)]

$|T(E)|=\exp\Big\{-\frac{1}{\hbar}\int\limits_{x_1}^{x_2}dx[2(V(x)-E)]^{1/2}\Big\}[1+O(\hbar)]$ dónde

x_{1}

$x_1$ y

x_{2}

$x_2$ son los clásicos puntos de inflexión en la energía

E

$E$ .

¿Por qué se hace referencia a esto como un resultado no perturbativo? ¿Por qué este fenómeno no puede revelarse, como suele decirse, en ningún orden en la teoría de perturbaciones?

Anexo: dado un potencial no solucionable, puedo resolver las funciones propias de energía aproximadas y calcular la amplitud del efecto túnel como se hace para un potencial escalonado. ¿No revelará el fenómeno de los túneles?

Respuestas (2)

¿Por qué la amplitud de túnel WKB es un resultado no perturbativo?

OON · Answer 1

Considere la función $\exp\Big(-\frac{1}{\hbar}f(x)\Big)$ . Cada derivado de ella se puede escribir en la forma,

\frac{d^{norte}}{d ℏ^{norte}} Exp (- \frac{1}{ℏ} F (X)) = \frac{{pag}_{2 norte} [ℏ, F (X)]}{ℏ^{2 norte}} Exp (- \frac{1}{ℏ} F (X))

$\begin{equation} \frac{d^n}{d\hbar^n}\exp\Big(-\frac{1}{\hbar}f(x)\Big)=\frac{p_{2n}\Big[\hbar,f(x)\Big]}{\hbar^{2n}}\exp\Big(-\frac{1}{\hbar}f(x)\Big) \end{equation}$ dónde

p_{2 n}

$p_{2n}$ es un polinomio en

ℏ

$\hbar$ . en el limite

ℏ \to 0

$\hbar\rightarrow 0$ el exponente llega a cero más rápido de lo que aumenta cualquier potencia inversa. Por lo tanto para cualquier

n

$n$ ,

\frac{d^{norte}}{d ℏ^{norte}} Exp (- \frac{1}{ℏ} F (X)) |_{ℏ = 0} = 0

$\begin{equation} \frac{d^n}{d\hbar^n}\exp\Big(-\frac{1}{\hbar}f(x)\Big)\Bigg|_{\hbar=0}=0 \end{equation}$ Por lo tanto, la serie de Taylor en

ℏ

$\hbar$ es cero en todos los órdenes y tal contribución no se verá en ningún orden de la teoría de la perturbación en

ℏ

$\hbar$ es decir, no es perturbador para tal expansión.

Ahora consideramos la expansión en $\hbar$ . Sin embargo tenga en cuenta que $\hbar$ es una cantidad dimensional o se establece en $1$ . Lo que realmente debe considerar es alguna combinación adimensional de los parámetros del modelo que generalmente involucra lo que llamamos una constante de acoplamiento.

La teoría de la perturbación se basa en una expansión en términos de la constante de acoplamiento/fuerza de la perturbación, mientras que el método WKB se basa en una expansión en las potencias de $\hbar$ . No veo ninguna correspondencia uno a uno entre los dos. Entonces, ¿cómo se explica por qué la amplitud de tunelización de WKB no es perturbativa? @OON

Kangle · Answer 2

Estoy de acuerdo con la respuesta OON. Por supuesto, para una barrera potencial, podemos hacer un cálculo perturbativo de las funciones de onda de entrada y salida, luego tomar la relación de corriente de partículas y obtener la amplitud del túnel al orden perturbativo. Pero este resultado es obviamente diferente del de la tunelización semiclásica de WKB. Como dijo OON, el WKB contiene contribuciones de las cuales no aparecen en el perturbativo. En realidad, la solución semiclásica satisface la ecuación de movimiento sin importar qué tan fuerte sea el acoplamiento. Esta es la base de las soluciones instanton.

"el de WKB contiene contribuciones de las que no aparecen en el perturbativo"... pero ¿por qué? Esto no es obvio para mí.
Por lo general, hacemos expansión de perturbaciones por órdenes de acoplamiento. Aquí no es muy riguroso escribir explícitamente. Pero puedes tomar " $\hbar$ "como ejemplo, digamos que el término exponencial contiene contribuciones de un número infinito de $hbar$ términos de potencia en los que converge, pero si realiza una expansión de perturbación al término exponencial alrededor $\hbar=0$ no puede obtener contribuciones de orden superior a la amplitud, ya que los coeficientes de Taylor son todos cero. Si realiza un cálculo perturbativo directamente a la barrera, entonces la amplitud de transmisión que obtiene normalmente no puede ser exponencial, ¿verdad?
" Si realiza un cálculo perturbativo directamente a la barrera, entonces la amplitud de transmisión que obtiene no puede ser exponencial por lo general, ¿verdad? " ¿Por qué dice eso? @Kangle

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