Cuantificación de Bohr-Sommerfeld para diferentes potenciales

Question

Cuantificación de Bohr-Sommerfeld para diferentes potenciales

usuario8817

Tengamos la cuantización de Bohr-Sommerfeld para el caso unidimensional:

\int_{a}^{b} pag (X) d X = π ℏ (norte + v) .

$\int \limits_{a}^{b} p(x)dx ~=~ \pi \hbar (n + \nu ).$ Aquí

p (x) = \sqrt{2 m (E - U)}

$p(x) = \sqrt{2m(E - U)}$ ,

a, b

$a, b$ son puntos de inflexión, y el área que no se encuentra en el intervalo

(a, b)

$(a, b)$ está clásicamente prohibido. Sé que cuando no tenemos pozos infinitos en

a, b

$a, b$ , es decir, la función de onda no es igual a cero fuera del rango

(a, b)

$(a, b)$ , tenemos

ν = \frac{1}{2}

$\nu = \frac{1}{2}$ , cuando tenemos pozo infinito en, por ejemplo, punto

a

$a$ ,

ν = \frac{3}{4}

$\nu = \frac{3}{4}$ , y finalmente en caso de que haya dos pozos, tenemos

ν = 1

$\nu = 1$ .

Sé que en el primer caso $\nu = |\varphi_{1} - \varphi_{2}|$ se combina como resultado de la coincidencia de funciones fuera de $(a, b)$ , $\frac{1}{\sqrt{p}}e^{-|\int pdx|}$ y solución en $(a, b)$ ,

\frac{C_{1}}{\sqrt{pag}} {mi}^{i \int pag d X + i φ_{1}} + \frac{C_{2}}{\sqrt{pag}} {mi}^{- i \int pag d X + i φ_{2}},

$\frac{C_{1}}{\sqrt{p}}e^{i \int pdx + i\varphi_{1}} + \frac{C_{2}}{\sqrt{p}}e^{-i \int pdx + i\varphi_{2}},$ después de pasar por alto los puntos de inflexión. Pero, ¿qué hacer en el segundo y tercer caso, cuando la función es igual a cero fuera de al menos un lado del ángulo?

Respuestas (1)

Cuantificación de Bohr-Sommerfeld para diferentes potenciales

qmecanico · Answer 1

OP está considerando la regla de cuantificación de Bohr-Sommerfeld

\begin{matrix} (1) & \oint k (X) d X = 2 π (norte + \frac{1}{4} \sum_{i} m_{i}), norte \in {norte}_{0}, \end{matrix}

$\oint k(x) \mathrm{d}x ~=~2\pi (n + \frac{1}{4}\sum_i\mu_i) , \qquad n\in\mathbb{N}_0,\tag{1}$ donde la suma

\sum_{i}

$\sum_i$ es sobre puntos de inflexión

i

$i$ con posiciones

x_{i}

$x_i$ y donde

μ_{i} \in Z

$\mu_i\in\mathbb{Z}$ es la corrección metapléctica / índice de Maslov de la

i

$i$ el punto de inflexión. Un punto de inflexión viene en diferentes tipos:

Un punto de inflexión de tipo genérico tiene índice de Maslov $\mu_i=1$ . Esto se ve en las fórmulas de conexión semiclásicas . Las fórmulas de conexión con las conocidas $\exp(\pm i\frac{\pi}{4})$ cambio de fase [que induce un $2\times \frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$ cambio de fase entre el motor izquierdo y derecho, y corresponde a $\mu_i=1$ ] se derivan bajo el supuesto de que existe una región superpuesta donde se cumplen las dos condiciones siguientes:
1. La condición cuasi-clásica: $|\lambda^{\prime}(x)| \ll 1$ . Esto generalmente se mantiene alejado del punto de inflexión.
2. Una linealización del potencial $V(x)$ es válida. Esto generalmente se mantiene solo en un pequeño vecindario alrededor del punto de inflexión.
Un potencial de pozo cuadrado infinito (digamos ubicado en $x=x_i$ ) normalmente satisface la condición 1 para $x\neq x_i$ pero falla la condición 2. La fórmula de conexión se reemplaza luego por una condición de contorno (BC)
$\begin{matrix} (2) & ψ (X_{i}) = 0, \end{matrix}$ $\psi(x_i)~=~0,\tag{2}$ cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE. El BC (2) implica un $\pi$ cambio de fase entre el motor izquierdo y derecho, que corresponde a un índice de Maslov $\mu_i=2$ .

Para obtener más detalles, consulte también, por ejemplo, la regla de cuantificación de Einstein-Brillouin-Keller (EBK) y esta publicación de Phys.SE. Consulte también esta publicación de Phys.SE para obtener referencias.

Cuantificación de Bohr-Sommerfeld para diferentes potenciales

usuario8817

Respuestas (1)

qmecanico

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