Teoría de la perturbación canónica de las órbitas keplerianas

Preámbulo

El movimiento de una partícula de prueba alrededor de una masa puntual.$\mu$se rige por el hamiltoniano

$$(*)\qquad\qquad H(r,p_r,p_\phi) = \frac{p_r^2}{2} + \frac{p_\phi^2}{2r^2} - \frac{\mu}{r}$$ que tiene soluciones conocidas y representación de acciones $$H(J_r,J_\phi) = -\frac{\mu^2}{2(J_r+J_\phi)^2} = -\frac{\mu^2}{2J_\phi^2} \left(1 - 2\frac{J_r}{J_\phi} + 3 \frac{J_r^2}{J_\phi^2} + O(J_r^3) \right),$$ dónde $J_\phi=p_\phi$. Ahora, en fijo $p_\phi=J_\phi$, se puede considerar el hamiltoniano $(*)$como eso para el movimiento radial solamente y reescribirlo como $$H_r(r,p_r) = \frac{p_r^2}{2} + \Phi_{\mathrm{eff}}(r) \qquad\text{with}\qquad \Phi_{\mathrm{eff}}(r) = -\frac{\mu}{r} + \frac{J_\phi^2}{2r^2},$$ que tiene $J_\phi$como parámetro. el minimo de $\Phi_{\mathrm{eff}}$ocurre en el radio $r_{\mathrm{c}}=J_\phi^2/\mu$de la órbita circular con momento angular $J_\phi$. $\Phi_{\mathrm{eff}}$tiene la expansión de Taylor $$\Phi_{\mathrm{eff}}(r) = -\frac{\mu}{2r_{\mathrm{c}}} + \frac{\mu}{2r_{\mathrm{c}}^3} x^2 - \frac{\mu}{r_{\mathrm{c}}^4} x^3 + \frac{3\mu}{2r_{\mathrm{c}}^5} x^4 + O(x^5)$$ con $x\equiv r-r_{\mathrm{c}}(J_\phi)$. Aquí, el primer término es la energía de la órbita circular. ahora dividir $H_r=H_0 + H_1$con $$\begin{align} H_0 &= -\frac{\mu}{2r_{\mathrm{c}}} + \frac{p_x^2}{2} + \frac{\mu}{2r_{\mathrm{c}}^3} x^2,& H_1 &= - \frac{\mu}{r_{\mathrm{c}}^4} x^3 + \frac{3\mu}{2r_{\mathrm{c}}^5} x^4. \end{align}$$ La teoría clásica del epiciclo (por ejemplo, Lindblad 1926) corresponde a ignorar $H_1$y resolviendo $H_0$, que es movimiento armónico simple con frecuencia de epiciclo $\kappa\equiv\sqrt{\mu/r_{\mathrm{c}}^3}=\mu^2/J_\phi^3$, donación $$\begin{align} x_0 &= \sqrt{\frac{2J_r}{\kappa}}\sin\theta, &\theta&=\vartheta+\kappa t,\\ H_0 &= -\frac{\mu^2}{2J_\phi^2} + \kappa J_r &&= -\frac{\mu^2}{2J_\phi^2} \left(1 - 2 \frac{J_r}{J_\phi}\right), \end{align}$$ que es el primer orden del hamiltoniano completo $H(J_r,J_\phi)$arriba. Todo esto es material de libro de texto estándar, a excepción de $H_1(x)$(cual es correcta).

Pregunta

Ahora, use la teoría de la perturbación canónica para llegar al siguiente orden. Según Lichtenberg & Liebermann (Springer 1983), esto equivale a promediar la perturbación$H_1(x)$sobre la órbita no perturbada (tenga en cuenta que$\langle\sin^3\theta\rangle=0$y$\langle\sin^4\theta\rangle=3/8$):

$$\left\langle H_1\left(x=x_0(\theta)\right)\right\rangle = \frac{3\mu}{2r_{\mathrm{c}}^5} \frac{4J_r^2}{\kappa^2}\frac{3}{8} = \frac{9\mu^2}{4J_\phi^2}\frac{J_r^2}{J_\phi^2}.$$

Sin embargo, del pleno$H(J_r,J_\phi)$arriba, esperamos

$$H_1 = -\frac{3\mu^2}{2J_\phi^2}\frac{J_r^2}{J_\phi^2}$$ que difiere por un factor $-3/2$.

¿Qué salió mal con mi derivación?