¿Por qué usar restricciones al inicio en la expresión hamiltoniana?

TL; DR: OP tiene razón: hay varias formas equivalentes de construir una formulación hamiltoniana, algunas aplican las restricciones al principio, otras en una etapa posterior.

A continuación, ilustremos cómo se desarrolla esto en el ejemplo de OP:

1. Partimos de un sistema con Lagrangiano

   $$L_1~:=~L_0 + \lambda \chi_1, \qquad L_0~:=T-V,$$ $$T ~:=~\frac{m}{2}(\dot{\ell}^2+\ell^2\dot{\theta}^2), \qquad V~:=~-mg\ell\cos\theta, \tag{A}$$ con multiplicador de Lagrange$\lambda$y restricción holonómica $$\chi_1~:=~\ell-\ell_0+\alpha t~\approx~0. \tag{B}$$ Nótese que la restricción$\chi_1$(y por lo tanto el Lagrangiano$L_1$) conllevan una dependencia temporal explícita. El momento lagrangiano leído $$p_{\ell}~:=~\frac{\partial L_1}{\partial \dot{\ell}}~=~m\dot{\ell}, \qquad p_{\theta}~:=~\frac{\partial L_1}{\partial \dot{\theta}} ~=~m\ell^2\dot{\theta}.\tag{C}$$ A continuación, realice el análisis de Dirac-Bergmann. El hamiltoniano desnudo dice $$H_0~:=~\frac{p_{\ell}^2}{2m} + \frac{p_{\theta}^2}{2m\ell^2}. \tag{D}$$ Interesante, hay una restricción secundaria. $$0~\approx~\frac{d\chi_1}{dt}~\approx~\{\chi_1, H_0\} + \frac{\partial\chi_1}{\partial t}~=~\frac{p_{\ell}}{m}+\alpha .\tag{E}$$ Al final, el hamiltoniano correspondiente se convierte en $$H_1~=~\frac{p_{\ell}^2}{2m} + \frac{p_{\theta}^2}{2m\ell^2} +V -\lambda \chi_1-\lambda^{\prime} \left( \frac{p_{\ell}}{m}+\alpha\right) \tag{F}.$$ Uno puede eliminar/integrar las restricciones en la ecuación. (F).

2. Otra posibilidad es eliminar la restricción$\chi_1$y la coordenada radial$\ell$desde el principio:

   $$L_2~:=~\frac{m}{2}(\ell_0-\alpha t)^2 \dot{\theta}^2+mg(\ell_0-\alpha t)\cos\theta, \tag{G}$$ y luego realice la transformación de Legendre.

3. Una tercera posibilidad es reescribir la restricción holonómica$\chi_1$como una restricción semiholonómica

   $$\chi_3~:=~\dot{\ell}+\alpha~\approx~0. \tag{H}$$ Entonces el lagrangiano dice $$L_3~:=~L_0 + \lambda \chi_3.\tag{I}$$ El momento lagrangiano leído $$p_{\ell}~:=~\frac{\partial L_3}{\partial \dot{\ell}}~=~m\dot{\ell}+\lambda, \qquad p_{\theta}~:=~\frac{\partial L_3}{\partial \dot{\theta}}~=~m\ell^2\dot{\theta}. \tag{J}$$ Al final, el hamiltoniano correspondiente se convierte en $$H_3~=~\frac{(p_{\ell}-\lambda)^2}{2m} + \frac{p_{\theta}^2}{2m\ell^2} +V -\lambda \alpha \tag{K}.$$

4. Curiosamente, el multiplicador de Lagrange$\lambda$entra cuadráticamente en la ec. (K). Puede estar integrado. El hamiltoniano resultante se convierte (después de descartar términos constantes)

   $$H_4~=~ \frac{p_{\theta}^2}{2m\ell^2} +V -p_{\ell} \alpha .\tag{L}$$

Todos los enfoques anteriores conducen al mismo sistema central de MOE:

$$\dot{p}_{\theta}~\approx~-\frac{\partial V}{\partial \theta}, \qquad p_{\theta}~\approx~~m\ell^2\dot{\theta}, \qquad \dot{\ell}+\alpha~\approx~0.\tag{M}$$

No puedes simplemente escribir

$${H} = p_\theta \dot{\theta} + p_l \dot{l} - { L},$$ porque $l$no corresponde a un grado de libertad del sistema ya que esta variable no puede cambiar libremente. no obtendrás $l(t)$al minimizar la acción, ya está fijado por la restricción reonómica $dl/dt=-\alpha$. Dicho en otras palabras, $l$no es una coordenada del espacio de fase y no hay $p_l$.

Lo que se supone que debes hacer es escribir el lagrangiano para el sistema de un grado de libertad,

$$L=\frac{m}{2}(l^2\dot\theta^2+\alpha^2),$$ y luego el hamiltoniano, $$H=p_\theta\dot\theta-L.$$