Teoría de la perturbación en la segunda cuantización

Estoy tratando con la interacción electrón/fonón en QM. En particular, dado el hamiltoniano de un sólido,

H = H el + H ion + H el-ión

tenemos que el hamiltoniano el-phonon es tratado perturbativamente con respecto a H el + H ion

y, despreciando los procesos Umklapp tenemos

H el-ión = Σ q → v ( q → ) ⋅ ( a † ( − q → ) + a ( q → ) ) ⋅ C k → + q → † C k →

Según este hamiltoniano podemos ver que sólo se admiten dos procesos de primer orden (emisión de un fonón de cantidad de movimiento − q → y absorción de un fonón de cantidad de movimiento q → ).

Entonces, suponiendo conocer todos los estados del hamiltoniano imperturbable H el + H ion , denotándolos con | ψ norte ( 0 ) ⟩ calculamos la corrección del estado fundamental de este hamiltoniano utilizando la teoría de perturbaciones, obteniendo

mi GRAMO S 1 = ⟨ ψ 0 ( 0 ) | H el-ión | ψ 0 ( 0 ) ⟩ = 0

lo que significa que los procesos de primer orden (absorción/emisión) no cambian los niveles de energía, mientras que

mi GRAMO S 2 = Σ norte > 0 | ⟨ ψ norte ( 0 ) | H el-ión | ψ 0 ( 0 ) ⟩ | 2 mi 0 ( 0 ) − mi norte ( 0 ) ≠ 0

lo que significa que el proceso de segundo orden (el/el acoplamiento atractivo efectivo debido a un intercambio de un fonón) cambia de energía.

Me parece que existe una relación entre el orden de corrección en la teoría de la perturbación y el orden del proceso que causó esa corrección (y físicamente esto es intuitivo porque en los cálculos de corrección de primer orden involucran solo una función de onda mientras que en la corrección de segundo orden tenemos 2 funciones de onda diferentes involucrado).

¿Es correcto lo que estoy diciendo? En caso afirmativo, ¿cuál es la forma formal de decir esto? En otras palabras, ¿existe una relación entre el orden de un proceso y el orden en la corrección de la teoría de perturbaciones?

Sí, tienes razón y se vuelve más obvio en la formulación de la integral de ruta. No soy lo suficientemente competente como para demostrar esto por mi cuenta, pero debería buscar cosas en la integral de ruta y los diagramas de Feynman.
Estoy un poco desconcertado por lo que estás preguntando. Usted dice "Me parece que existe una relación entre el orden de corrección en la teoría de la perturbación y el orden del proceso que causó esa corrección", pero eso es trivialmente cierto, en cierto sentido por definición. El "orden de una corrección en la teoría de perturbaciones" y el "orden de un proceso" son literalmente lo mismo. ¿Está tratando de preguntar por qué, físicamente, los niveles de energía se ven afectados por los procesos de segundo orden?

Respuestas (1)

1) Su operador de perturbación no conserva el número de partículas de los fonones, por lo que solo las potencias pares contribuirán a los valores esperados de equilibrio. Dado que solo está interesado en el estado fundamental, que no tiene ningún fonón excitado, esto significa que primero debe crear un fonón. Después de eso, se puede crear otro fonón o se puede destruir el primero. Solo los procesos que regresan al estado fundamental contribuyen al valor esperado y para esto, obviamente, debe aplicar el operador de interacción una cantidad uniforme de veces.

2) En una integral de trayectoria, los fonones se pueden integrar, dejando una interacción electrón-electrón efectiva. Eso también es proporcional al cuadrado del elemento de la matriz de perturbaciones.

El elemento n. ° 1 es perfecto, y sería realmente bueno darle una intuición física, incluso si esa intuición "física" todavía es un poco matemática. El artículo n. ° 2 también da en el clavo, y me pregunto si podría indicar por qué los acoplamientos efectivos son de segundo orden con respecto al acoplamiento hamiltoniano. Quiero decir, es bastante obvio basado en el n. ° 1, pero si pudieras mostrar un pequeño ejemplo genérico o un problema con un juguete, realmente ayudaría.
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