¿Cómo escribir el operador de velocidad de un hamiltoniano dado en mecánica cuántica?

Tengamos un modelo de celosía 2D con tres sitios en una celda unitaria (básicamente celosía Kagome 2D). En el espacio de Fourier, el hamiltoniano se escribe como

H = ∑ k X , k y [ a † b † C † ] [ h 11 h 12 h 13 h 21 h 22 h 23 h 31 h 32 h 33 ] [ a b C ] ≡ Ψ † h ( k X , k y ) Ψ
aquí a , b , C son operadores de partículas en 3 sitios de la celda unitaria.

Pregunta:

Cómo escribir el operador de velocidad para a , b , C partículas en la dirección x y en la dirección y por separado.

Mi intento:

Usando el teorema de Ehrenfest para partículas a , tenemos:

∂ t a † a = 1 i ℏ [ a † a , H ]

(para no convertirlo en una pregunta comercial:) Creo que el teorema de Ehrenfest es la forma correcta de escribir operadores de velocidad. Pero no veo cómo se puede separar exactamente la velocidad de las partículas en las direcciones x e y o k X , k y direcciones usando este teorema. ¿Cómo define la mecánica cuántica la velocidad en diferentes direcciones?

¿Has intentado considerar el conmutador de H y X/Y?
@JahanClaes sí, pero ¿cómo defino los operadores X e Y aquí? (disculpen si es una pregunta muy tonta)
El título de su pregunta debe ser un poco más específico.

Respuestas (1)

En la primera representación de cuantización, el operador de velocidad se obtiene usando

X ˙ ^ = 1 i ℏ [ X ^ , H ^ ] − ,
que define el operador de la derivada o la derivada del operador , dependiendo de si trabajas en la imagen de Schrödinger o Heisenberg.

En la segunda cuantización, se cambia a los operadores usando la prescripción habitual: calcular el elemento de matriz entre los operadores de campo ψ † ( X ) , ψ ( X ) .

Para hamiltonianos trancados, como parece ser el caso en la pregunta, uno suele estar interesado en el operador actual , que se obtiene usando la ecuación de continuidad, como la derivada del operador de carga en la región de interés, por ejemplo

∂ t a † a = 1 i ℏ [ a † a , H ^ ] − .
Una advertencia es que uno puede tener algunos desafíos al cambiar el indicador, por ejemplo, al intentar aplicar la fórmula de Kubo (factible, pero no sencillo).

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