Teoría de campo efectivo para gas fermión

Para ver que esta es la teoría cuántica de campo no relativista más simple posible para los fermiones, es útil derivar la dinámica. El impulso canónico de$\psi(x,y,z)$es la derivada de Lagrange con respecto a$\partial_\tau \psi(x,y,z)$- y es$\psi(x,y,z)^\dagger$(hasta señales y$\pm i$que dependen de las convenciones).

En cualquier caso, el hamiltoniano es$H = p\dot q - L$y el primer término simplemente se cancela contra el término derivado en el Lagrangiano, así que lo que nos queda es

$${\mathcal H} = \psi^\dagger \frac{\nabla^2}{2m} \psi$$ Pero salvo un signo que puede estar equivocado, este es solo el factor del operador de energía cinética. $p^2/2m$insertado en el operador del número total de partículas, por lo que en la base de momento y en una caja, el hamiltoniano total no es más que $$H = \sum_{\vec p} \frac{p^2}{2m} c^\dagger_p c_p$$ dónde $c^\dagger_p c_p=N_p$es simplemente el número de partículas con el vector de impulso $\vec p$. Multiplicamos cada uno de ellos por la energía cinética y sumamos sobre permitido $\vec p$para obtener la energía total del sistema multi-fermión.

También podemos sumar sobre las polarizaciones de espín, pero el operador$\nabla^2$conmuta con los grados de libertad de espín, por lo que agregar el espín es como tener varios estados de espín independientes para cada uno.$\vec p$que simplemente se suman.

Permítanme enfatizar nuevamente que mientras el hamiltoniano de la "teoría del campo fermiónico más simple" solo tiene un término, con las derivadas espaciales, el lagrangiano también tiene que tener el término que depende de la derivada temporal de$\psi$– todos los lagrangianos para grados de libertad dinámicos tienen que depender de derivadas temporales para que existan los momentos canónicos y para que las historias discontinuas se desfavorezcan cuando se busca la menor acción.

Sí, el Lagrangiano simple anterior también se puede deducir de los Lagrangianos relativistas, es decir, el Lagrangiano de Dirac, siempre que aprovechemos el hecho de que las dos partes de 2 componentes del espinor de Dirac son casi iguales para velocidades bajas. Esto permite expresar uno de ellos en función de las derivadas del otro, y de esta manera, las primeras derivadas espaciales en el Lagrangiano de Dirac se convierten en segundas derivadas. El término derivado de tiempo en su Lagrangiano es casi exactamente el mismo término que el primer derivado de tiempo en el Lagrangiano de Dirac. De lo contrario, la reducción limitante de los términos derivados espaciales es la derivación habitual de la ecuación no relativista de "Pauli" de la teoría de Dirac, aplicada a los campos (segundo cuantificados) que producen estados de partículas múltiples.