Lagrangiano para partícula libre en relatividad especial

Ayuda a escribir la acción completa:

$$S = \int \frac{-mc^2}{\gamma}dt - \int U dt$$

El primer término se puede poner en una forma mucho mejor al notar que$d\tau = \frac{dt}{\gamma}$representa el tiempo adecuado para la partícula. La acción es entonces:

$$S = -mc^2\int d\tau - \int U dt$$ El primer término es invariante de Lorentz, siendo sólo la distancia entre dos puntos dada por la métrica de Minkowski, y es bueno en relatividad. Sin embargo, el segundo término no lo es (suponiendo que $U$es un escalar); no hay forma de que pueda ser una acción relativista.

Hay dos salidas fáciles:

1. La primera es simplemente cambiar el término a$\frac{U}{\gamma}$. Esto da la acción: $$S = -\int (mc^2+U)d\tau$$
2. El segundo es "promover" el término (una terminología utilizada en Einstein Gravity in a Nutshell de Zee ) a un producto escalar relativista, dando la acción: $$S = -mc^2\int d\tau - \int U_\mu dx^{\mu}$$

El primero no tiene un análogo clásico del mundo real (que yo sepa), y el segundo es más o menos la interacción de una partícula con un campo electromagnético estático. Pero la forma original se recupera de este último cuando los componentes espaciales de$U_\mu$desaparecer, dejando solo$U_0$.

La energía cinética se obtiene transformando el Lagrangiano en el Hamiltoniano (ver aquí ).

Un enfoque muy informal sería comprender cómo se desarrollan las matemáticas: dado que 'Acción' en el sentido lagrangiano nunca es un vector, debe ser un escalar. Es en este caso la energía. De la relatividad especial tenemos el postulado de que las leyes de la física son las mismas para todos los observadores en todos los marcos de referencia inerciales. Por eso:

$$L\gamma = -mc^2$$ $$or, L=-mc^2/\gamma$$

Entendemos que para cualquier coordenada la siguiente cantidad representa el impulso generalizado :

$$p_i=\delta L/\delta\dot q_i=-mc^2\delta\sqrt{1-\beta^2}/\delta v =v\gamma mc^2/c^2 =\gamma mv$$ (Consistente con el momento relativista)

Por lo tanto, se puede esperar que la expresión final para el Lagrangiano tome la forma:

$${\mathcal{L}}=-mc^2/\gamma -V(x)$$