Teoremas 'obvios' que en realidad son falsos

Teorema (falso):

Uno puede reordenar arbitrariamente los términos en una serie convergente sin cambiar su valor.

Una forma con volumen finito debe tener un área de superficie finita.

Suponer$A$y$B$están jugando el siguiente juego:$A$elige dos números diferentes, a través de algún método desconocido para$B$, las escribe en tiras de papel y las mete en un sombrero.$B$saca una de las tiras al azar y examina su número. Luego predice si es el mayor de los dos números.

Si$B$simplemente lanza una moneda al aire para decidir su predicción, acertará la mitad de las veces.

Obviamente, no hay ningún método que pueda hacerlo mejor que el lanzamiento de una moneda.

Pero existe un método de este tipo, descrito en Thomas M. Cover " Elija el número más grande " ( Problemas abiertos en comunicación y computación Springer-Verlag, 1987, p152), que describí brevemente aquí , y en detalle aquí .

Esto es elemental en comparación con la mayoría de los otros ejemplos, pero ¿qué tal

Hay más números racionales que enteros.

Sigo insistiendo en esto, porque creo que es un ejemplo espectacular de algo que se puede demostrar que es completamente obvio (no solo porque lo parece, sino porque se creyó mucho durante tanto tiempo) y, sin embargo, es completamente incorrecto:

Suponer$\Phi$es una propiedad que puede o no tener algún objeto. Luego hay una colección.$S_\Phi$de todos los objetos con propiedad$\Phi$.

Muchos matemáticos serios e incluso famosos siguieron adelante con este principio intuitivamente obvio pero completamente falso, cuya demolición sacudió las matemáticas hasta sus cimientos y marca el comienzo de la lógica moderna y la teoría de conjuntos.

(Hay muchos contraejemplos, de los cuales el más conocido es$\Phi(x) =$“$x$no es miembro de la colección$x$”. Para otros, ver ¿Es la paradoja de Russell la única contradicción posible al esquema axiomático de comprensión debido a Frege (1893)?$\{x:P(x)\}$y la paradoja de la comprensión general en la teoría de conjuntos, además de la paradoja de Russell ).

En un hilo relacionado con mathOverflow , Gowers señaló la siguiente afirmación obvia pero falsa:

Dejar$I_1, I_2, \ldots$ser subintervalos de$[0,1]$cuya longitud total es estrictamente menor que 1. Entonces la unión de los$I_i$no puede contener$\Bbb Q\cap [0,1]$.

(Tenga en cuenta que si$\Bbb Q$se reemplaza con$\Bbb R$, la afirmación es verdadera.)

Encuentro el hecho de que todos$\Bbb Q$puede ser cubierto por una familia arbitrariamente pequeña de intervalos para ser uno de los más extrañamente contradictorios en todas las matemáticas.

Si una función$f(x)$tiene una asíntota horizontal, entonces$\lim f'(x) = 0$

$0.\overline{9} < 1$

Probablemente el más famoso de los "obvios" pero falsos.

la falsedad de

Dejar$S$Sea una familia infinita de números estrictamente positivos. Entonces$\sum S = \infty$

ha estado alucinando a la gente durante miles de años. Es la base de la paradoja de Zeno, pero si crees que la paradoja de Zeno es vieja y cansada, considera que también es la base de la paradoja del Cuerno de Gabriel (también mencionada en este hilo), que todavía desconcierta a la gente.

Cada cadena de subconjuntos de$\mathbb N$es contable.

La conjetura de Keller es obviamente cierta:

Dejar$\Bbb R^n$estar completamente cubierto con idéntico, no superpuesto$n$-cubitos. Debe haber dos cubos que compartan una cara.

(Por ejemplo, cuando$n=2$cubrimos el plano con pequeños mosaicos cuadrados, y la conjetura establece que debe haber dos mosaicos que comparten un borde. Esto es cierto.)

Sin embargo, la conjetura es falsa para todos$n>7$.

• Si$U$es un subconjunto abierto de$\mathbb{R}^n$que es homeomorfo a$\mathbb{R}^n$, uno podría pensar que es "obvio" que de hecho es difeomorfo a$\mathbb{R}^n$(quizás pensando algo como "topológicamente parece$\mathbb{R}^n$, y diferenciablemente es localmente trivial"). De hecho, esto es cierto (¡pero de ninguna manera obvio!) para$n\neq 4$. Pero para$n=4$es falso: existen exóticos$\mathbb{R}^4$'s (variedades diferenciables que son homeomorfas, pero no difeomorfas, para$\mathbb{R}^4$), incluidos los "pequeños" que son difeomorfos a un subconjunto abierto de$\mathbb{R}^4$.

• Mucho menos profundo, pero divertido: es "obvio" que la suma de dos conjuntos abiertos convexos en el plano cuyo borde es$C^\infty$también tiene un$C^\infty$borde (tal vez pensando en algo como "el borde de la suma está parametrizado por una función suave de los bordes de los sumandos"). Pero esto es falso: de hecho, el borde de la suma siempre es$C^{20/3}$(es decir, seis veces diferenciable y con una sexta derivada que es apropiadamente Hölder) y no más en general. Un simple contraejemplo lo dan los epígrafes de$x^4/4$y$x^6/6$. Para obtener detalles, consulte Kiselman, "Suavidad de sumas vectoriales de conjuntos planos convexos", Matemáticas. Escanear. 60 (1987), 239–252.

$i^i$es imaginario.$\ \ \ \ \ \ $

Esta parte es verdadera (teorema de separación de Jordan-Brouwer):

(a) Cualquier incrustación del$2$-esfera en$3$El espacio euclidiano bidimensional separa el espacio en dos regiones disjuntas.

Pero esta parte, que parecería ser una generalización natural del teorema de la curva de Jordan-Schönflies, no es cierta:

(b) Las regiones son homeomorfas al interior y al exterior de la esfera unitaria.

Realmente me gustan las "pruebas incorrectas", ya que normalmente la idea de por qué la prueba es incorrecta te da una idea del tema. Una versión muy simple es esta, que lancé en mis primeros semestres cuando era tutor:

Cada relación binaria que es simétrica y transitiva es también reflexiva y por lo tanto una relación de equivalencia.

"Prueba":

Dejar$\sim$denote una relación simétrica y transitiva y sea$x$,$y$ser dos elementos con$x \sim y$. Como$\sim$es simétrica, se cumple que$y \sim x$. Desde$x \sim y$y$y\sim x$se sigue por la transitividad de$\sim$eso$x \sim x$, que es la definición de reflexividad.

Editar: como me preguntaron, he aquí por qué la prueba es incorrecta (mueva el mouse allí para mostrar):

Eche un vistazo a la relación vacía en un conjunto no vacío$S$, para que no haya$x, y \in S$de modo que$x \sim y$. Esta relación es simétrica y transitiva, pero no reflexiva. necesidades de reflexividad$x \sim x$mantener para todos $x$. La prueba supone que hay ay, por lo que x ~ y, que no es necesariamente el caso para todos$x$.

Este es uno de mis favoritos: supongamos que jugamos con una moneda justa.

Teorema (falso) En un juego largo de tirar una moneda, cada jugador estará en el bando ganador durante aproximadamente la mitad del tiempo, y la ventaja pasará no pocas veces de un jugador a otro.

Lo siguiente es del clásico de W. Fellers de Introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones , Vol 1:

De acuerdo con creencias generalizadas, la llamada ley de los promedios debería garantizar el teorema anterior. Pero, de hecho, este teorema es incorrecto y contrario a la creencia habitual , se cumple lo siguiente:

con probabilidad$\frac{1}{2}$ no se produjo ningún empate en la segunda mitad del juego, independientemente de la duración del juego. Además, las probabilidades cerca del punto final son mayores .

De hecho, esto conduce a la ley del arco seno para las últimas visitas (ver, por ejemplo, Vol. 1, cap. 3, sección 4, Teorema 1).

Nota: tenga en cuenta las declaraciones notables citadas del Capítulo III: Fluctuaciones en el lanzamiento de monedas y paseos aleatorios :

Por ejemplo, en varias aplicaciones se supone que las observaciones de un juego individual de lanzamiento de monedas durante un largo intervalo de tiempo producirán las mismas características estadísticas que la observación de los resultados de un gran número de juegos independientes en un instante dado. Esto no es así.

y más adelante:

De todos modos, es lógico pensar que si incluso el simple juego de lanzar una moneda conduce a resultados paradójicos que contradicen nuestra intuición, esta última no puede servir como guía confiable en situaciones más complicadas.

[2015-07-16] Según un comentario de @HenningMakholm, algunos ejemplos exponen aspectos llamativos.

• Suponga que una gran cantidad de juegos de lanzamiento de monedas se llevan a cabo simultáneamente a razón de uno por segundo, día y noche, durante todo un año. En promedio, en uno de cada diez juegos el último empate ocurrirá antes$9$han pasado días , y el cliente potencial no cambiará durante los siguientes 356 días. En uno de cada veinte casos, la última igualación tiene lugar dentro de$2\frac{1}{2}$días, y en uno de cada cien casos ocurre dentro de los primeros$2$horas y$10$minutos.

• Supongamos que en un experimento de aprendizaje que dura un año, un niño se retrasa constantemente, excepto, quizás, durante la semana inicial. Otro niño estaba constantemente por delante excepto, quizás, durante la última semana. ¿Los dos niños serían juzgados iguales? Sin embargo, deja que un grupo de$11$los niños estén expuestos a un experimento de aprendizaje similar que no involucre inteligencia sino solo azar. uno entre los$11$aparecería como líder durante todas menos una semana, otro como rezagado durante todas menos una semana.

Los ejemplos anteriores son, de hecho, una consecuencia de la ley Arcseno para las últimas visitas .

Teoremas que son intuitivamente verdaderos, pero en realidad defectuosos:

• No existe una función real continua, diferenciable en ninguna parte.

• No existe una función real que sea derivable y no monótona en ningún intervalo no trivial.

• Si una función real satisface$\forall x, y, f(x+y) =f(x) +f(y)$, es de la forma$x\to ax$.

• Las sumas infinitas y las integrales se pueden intercambiar en cualquier momento.

• Un espacio métrico conexo es conexo por caminos.

La siguiente declaración que una vez creí que era "obvia":

Si$f:\mathbb{R} \rightarrow [0,\infty)$continua es tal que$\int_{-\infty }^{\infty }f(x)\text{d}x<{\infty }$, entonces$\lim \limits_{x \to \pm\infty} f(x) = 0$

que en realidad es falso.

(Nota: es cierto si$f$es uniformemente continuo!)

Hay un buen número de situaciones de probabilidad contrarias a la intuición. Uno de mis favoritos es dados no transitivos:

Hay 3 dados, A, B y C. Los dados tienen números del 1 al 9 en sus lados (repeticiones posibles). Si el B vence (número más alto) al A más de la mitad de las veces y el C le gana al B más de la mitad de las veces, entonces el C vencerá al A más de la mitad de las veces.

Esta no es necesariamente una afirmación verdadera. Los dados se pueden diseñar de tal manera que la propiedad "x vence a y" no sea transitiva. A vence a B, que vence a C, que vence a A.

Los números reales/conjunto de Cantor son contables.

Hay varias pruebas falsas "obvias":

1. "Prueba" . Considere el árbol$\{0,\ldots,9\}^\Bbb N$, entonces cada número real corresponde a un nodo en el árbol. Dado que solo hay muchos niveles contables y cada uno es finito, se deduce que los números reales son finitos.

   ¿Por qué falla? Este conjunto en realidad no es un árbol. Puede ordenarlo para que parezca un árbol, pero de hecho el árbol estaría compuesto de segmentos iniciales de cada función ordenados por continuación. Este árbol, entonces, tendría un último nivel (a saber, un nivel que en ningún punto tiene un sucesor), y sería exactamente el nivel de las funciones mismas (los niveles anteriores serían segmentos iniciales propios de las funciones).

   Si eliminamos ese último nivel, entonces el árbol sí es contable, pero ahora cada número real corresponde a una rama del árbol en lugar de a un nodo. (Es la rama única cuyo límite es igual a la función, que apareció previamente en ese nivel final).

2. "Prueba" . Los números racionales son contables, y entre cada dos números reales hay un número racional. Por tanto esto define una biyección entre pares de números reales y los números racionales.

   ¿Por qué falla? Debido a que hay muchos, muchos, muchos pares asignados al mismo número racional, esto no es realmente una biyección.

3. "Prueba" . El conjunto de Cantor es cerrado, su complemento es abierto, por lo que es una unión contable de intervalos, por lo que el conjunto de Cantor es contable.

   ¿Por qué falla? Porque no todos los puntos del conjunto de Cantor son extremos de dicho intervalo. Por ejemplo$\frac14$. Sin embargo, es cierto que los extremos de estos intervalos forman un subconjunto denso contable.

4. ¡PRIMA! ,$\mathcal P(\Bbb N)$es contable.

   "Prueba" . Por cada finito$n$,$\mathcal P(n)$es finito, y$\mathcal P(\Bbb N)=\mathcal P(\bigcup n)=\bigcup\mathcal P(n)$, es una unión contable de conjuntos finitos, que es contable.

   ¿Por qué falla? Debido a que la unión solo incluye subconjuntos finitos de$\Bbb N$, pero ninguno de sus infinitos subconjuntos.

Hipótesis: Toda función infinitamente diferenciable es real-analítica en alguna parte.

Esto es falso, como lo muestra (por ejemplo) la función de Fabius .

Me sorprende que nadie haya dado esta respuesta ya, así que aquí está:

Hay más números enteros que números naturales.

Es obvio, ¿no?

¡La imagen de una medida cero establecida bajo un mapa continuo tiene una medida cero!

La probabilidad de que le des a cualquier punto de un tablero de dardos es$0$pero la probabilidad de que le des al tablero de dardos es$1$(siempre y cuando no seas tan malo como yo lanzando dardos ;D).

EDITAR:

Como señaló @JpM, no seguí el formato de estas publicaciones, aunque la idea puede entenderse ( fácilmente en mi opinión ) a partir de lo que he dicho anteriormente.

Pseudoafirmación: la probabilidad de acertar en un solo punto en un tablero de dardos es mayor que$0$ya que la probabilidad de acertarle (asumiendo que acertarás en el tablero de dardos) es$1$.

Parece obvio en el sentido de que un montón de$0$no puede sumar para ser$1$por lo que cada punto debe tener alguna probabilidad. En realidad falso debido a algunas propiedades de las medidas.

Mi "teorema":

La declaración Todos aman a mi bebé, pero mi bebé no ama a nadie más que a mí, se trata de un par de amantes.

Es tan simple y tan obvio que hasta mi abuela lo entenderá. Y por más que expliques el cálculo lógico simple que muestra que aquí estamos hablando de un solo narcisista, la mitad de la clase de estudiantes de lógica de primer semestre seguirán insistiendo en que tu prueba está mal, y no saben qué está mal. al respecto, pero no puede referirse a una sola persona.

Considere una función$f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$eso es$\mathcal{C}^\infty$en ese intervalo. A primera vista, se podría pensar que, si$\lim(f) = 0$como$x \rightarrow \infty$, entonces$\lim(f') = 0$como$x \rightarrow \infty$. Sin embargo, esto es falso. Aquí hay solo un contraejemplo:

Además, si añadimos la estipulación de que$f$aunque sea monótona, todavía se pueden encontrar contraejemplos (aunque bastante patológicos).

Un arco simple (imagen homeomorfa del intervalo unitario cerrado) en el plano tiene$2$Medida de Lebesgue -dimensional cero.

Cualquier número real se puede calcular de alguna manera.

Más formalmente:

Para cada número real, existe un programa de longitud finita que calcula ese número.

Dado que los números reales son incontables, mientras que los números computables son contables, ese no puede ser el caso.

Esta limitación proviene del hecho de que estamos atascados en el uso de programas de longitud finita. Los programas de longitud infinita se pueden definir para calcular cualquier número real (trivialmente). Entonces, hay un sentido en el que todos los números reales se pueden calcular.

Simplemente no por los humanos. Tenga en cuenta que, dado que un solo programa de longitud infinita ocuparía una memoria infinita (y no parece que tengamos computadoras/cerebros infinitos), la mayoría de estos programas de longitud infinita nunca se pueden conocer, y mucho menos calcular. Entonces, los números computables son solo aquellos números computables por un programa de longitud finita. Y el conjunto de programas de longitud finita es contable.

Teorema: Sea$f_1(x,y)$y$f_2(x,y)$ser dos densidades de probabilidad conjuntas, cada una con su$x,y$componentes correlacionados positivamente ($Cov_1(x,y)>0$,$Cov_2(x,y)>0$). Dejar$f_3=\alpha f_1 + (1-\alpha) f_2$Sea la densidad de mezcla, para algunos$0\le \alpha\le 1$. Entonces$Cov_3(x,y)>0$.

En palabras: la mezcla de poblaciones conserva el signo de correlación. En otras palabras: si el usuario masculino promedio de MSE es más brillante que la media, y si la usuaria femenina promedio de MSE es más brillante que la media, entonces el usuario promedio de MSE es más brillante que la media. Obviamente cierto.

FALSO. Véase la paradoja de Simpson .

Afirmar:

Si el producto escalar de dos vectores es 0, entonces son linealmente independientes.

Mi profesor me lanzó esta pregunta hoy y me enamoré.

En mi opinión, los resultados más interesantes (pero también a veces poco intuitivos) en matemáticas son aquellos que enuncian un teorema que acaba siendo falso porque en realidad se cumple en muchos casos, salvo en muy pocos casos o muy extraños. En otras palabras, los teoremas falsos más "obvios" para mí son aquellos que tienen contraejemplos muy difíciles.

Algunos ejemplos:

• Banach-Tarski: Existe un subconjunto estricto$A$de la euclidiana$n$-pelota$B$tal que uno puede particionar$A$y$B$en un número igual de subconjuntos adicionales que pueden mapearse entre sí mediante isometrías. Esto demuestra que no todos los conjuntos son medibles y que es posible realizar particiones que no conservan la medida.

• No finitud de estructuras diferenciables: Por$\mathbb{R}^n$con$n = 4$, hay un número incontable de estructuras diferenciables distintas.

• Divergencia de la serie de Fourier: Existe una función integrable en$[-\pi, \pi]$cuya serie de Fourier diverge en todas partes. Esto es extremadamente inusual porque para cualquier función típica que podamos escribir, por lo general, su serie de Fourier puede divergir en uno o en un número finito de puntos, pero probablemente convergerá en cualquier otro lugar.

Un teorema 'obvio' pero falso: hay más conjuntos abiertos en$\mathbb R^2$(o$\mathbb R^n$) que hay números reales.

Y en una línea similar tenemos este corolario de la primera afirmación: Hay más funciones continuas$\mathbb R\rightarrow\mathbb R$que hay números reales.

(Ambas afirmaciones son falsas).

Estas son algunas de las declaraciones falsas que me vinieron a la mente y que me hicieron levantar al menos una ceja cuando me di cuenta por primera vez de que no eran ciertas.

Toda función lineal entre dos espacios vectoriales es continua.

Cierto solo mientras el dominio sea de dimensión finita. Si no lo es, entonces existe una función lineal que no es continua, ¡en ningún punto!

El conjunto de números reales de ninguna manera puede estar (totalmente) ordenado de tal manera que cada conjunto no vacío tenga un elemento mínimo.

Falso si se supone elección, por el teorema del buen orden.

$\mathbb Q$no es contable.

Todavía estoy tentado a creerlo a veces...

Si la derivada de una función real a real continua existe en casi todas partes y (dondequiera que exista) se desvanece en casi todas partes, entonces la función debe ser constante.

FALSO. De hecho, existe una función que satisface la premisa y es estrictamente [ sic! ] aumentando!

Todo conjunto compacto es cerrado.

El nombre “compacto” sugeriría esto, pero esto solo se puede garantizar en los espacios de Hausdorff.

Un conjunto es compacto si y solo si cada secuencia contiene una subsecuencia convergente.

Si bien es cierto en espacios métricos, no solo es falso en algunos espacios topológicos más generales, sino que ¡ninguna condición implica la otra!

La Hauptvermutung establece que esencialmente solo hay una estructura PL en una variedad. Más precisamente, establece que dos triangulaciones cualesquiera tienen una subdivisión común. La razón por la que esto parece "obviamente cierto" es que puede tomar ambas triangulaciones y superponerlas una encima de la otra, subdividiendo la variedad en un grupo de celdas y luego tomando la subdivisión baricéntrica para obtener una triangulación. Resulta que esto es falso y se necesitan algunas invariantes bastante sutiles para detectarlo. El problema con el argumento que di es que una triangulación podría ser muy salvaje con respecto a la otra (fractalmente ondulada) para que su unión no subdivida la variedad en una buena colección de celdas.

La paradoja de Stein es para mí la noción matemática más desconcertante que he conocido (aunque no soy matemático), principalmente porque no es un "artefacto" matemático, pero su falta de intuición conlleva consecuencias de error muy tangibles.

Teorema: (falso)

No se puede hacer nada mejor que la regla de decisión ordinaria para estimar la media de una distribución gaussiana multivariada bajo el error cuadrático medio.

En otras palabras, los fenómenos completamente independientes se pueden combinar para obtener un error de estimación conjunto más bajo.

¿Qué pasa con esto?

$\mathbb{R}$y$\mathbb{R}^2$no son isomorfos (como los grupos abelianos con adición).

Cae dentro de la categoría de "Tomemos la base Hamel de$\mathbb{R}$...", pero me gusta mucho.

"Una secuencia de números en la que cada número es mayor que el anterior, eventualmente siempre superará un valor dado L".

Realmente quiero que lo siguiente sea cierto:

Teorema: Sea$S$un subconjunto de un espacio vectorial. Si$S$es linealmente independiente por pares (lo que significa que cada$\{v,w \} \subseteq S$es linealmente independiente) entonces$S$es linealmente independiente.

Y sin embargo, es falso. Por ejemplo,

Una de las primeras veces que me sorprendieron equivocandome en algo tan obvio fue creer:

abs(x) nunca es igual a -x

Por supuesto abs(x)se define como -xparax < 0

Creo que esto no está cubierto en ninguna de las otras respuestas (aunque, sin duda, hay muchas). La paradoja de Simpson está cerca, pero creo que esta es diferente y algo más fácil de entender:

Si$X$se correlaciona positivamente con$Y$, y$Y$se correlaciona positivamente con$Z$, entonces$X$se correlaciona positivamente con$Z$.

En otras palabras, la correlación positiva es transitiva. Creo que es bastante intuitivo, pero falso.

"Obviamente"

Algo que solía ser seducido por mi inmadurez matemática (que lamentablemente aún existe):

Suponer que$P_n$son una familia de sentencias indexadas por$n\in\mathbb{N}$y podemos asignar significado a$P_{\infty}$. Entonces sí$P_n$es cierto para todos$n\in\mathbb{N}$, entonces$P_{\infty}$es cierto también.

El teorema de Cauchy implica que:

si uno hace un modelo físico de un poliedro convexo conectando placas rígidas para cada una de las caras del poliedro con bisagras flexibles a lo largo de los bordes del poliedro, entonces este conjunto de placas y bisagras formará necesariamente una estructura rígida.

Sin embargo, hay contraejemplos si permite un poliedro general (no convexo).

EDITAR: El contraejemplo que tenía en mente es incorrecto; He hecho otra pregunta para tratar de aclarar el asunto de una forma u otra. De todos modos, creo que es seguro decir que esto ya no es obvio. Pero continuaré y actualizaré (o eliminaré) mi respuesta en consecuencia una vez que tenga un poco más de claridad.

Aquí hay un ejemplo topológico que requiere un poco de reflexión para falsificarlo: aproximadamente, 'por cada curva que no se cruza entre dos esquinas opuestas de un cuadrado, hay una curva entre las otras dos esquinas que solo la cruza una vez'. Formalmente:

Dejar$f: [0, 1]\mapsto [0,1]^2$ser una curva que no se corta a sí misma con$f(0) = (0,0)$,$f(1) = (1,1)$, y$f(t)\in (0,1)^2$para$t\in(0,1)$. Entonces existe una curva que no se corta a sí misma$g: [0, 1]\mapsto [0,1]^2$con$g(0) = (1,0)$,$g(1) = (0,1)$, y$g(t)\in (0,1)^2$para$t\in(0,1)$tales que hay únicos$t_0$y$t_1$con$f(t_0) = g(t_1)$.

Esto parece obvio (al menos para mí) a primera vista, e incluso a segunda vista, el ejemplo del teorema de la curva de Jordan sugiere que debería ser cierto; después de todo, obtenemos un 'lado izquierdo' y un 'lado derecho' de nuestra curva por el JCT, ¿y el teorema de Schoenflies no significa que deberíamos poder encontrar una aplicación inversa de nuestra curva al círculo? Pero es falso; hay curvas$f()$que no puede ser intersecado solo una vez por cualquier curva$g()$. Encontrar un contraejemplo es un buen ejercicio...

Lo siguiente es obviamente falso, pero en realidad es cierto, como se muestra en el artículo de Wikipedia sobre los conjuntos de Vitali .

Existe una colección contable$\left\{V_n\right\}$de subconjuntos del círculo unitario tal que:

1. Cualquiera de los dos distintos$V_n$son disjuntos.
2. Cualquier$V_n$puede obtenerse de cualquier otro mediante una rotación.
3. La unión de todos los$V_n$es todo el circulo.

Todos$V_n$debe tener, de la propiedad dos, el mismo "tamaño" (para cualquier definición razonable de "tamaño"), pero si el hecho anterior fuera cierto, la suma de sus tamaños (iguales) sería el tamaño del círculo (positivo, pero finito). Pero si el tamaño fuera cero, la suma debería ser cero, y si el tamaño fuera positivo, la suma debería ser infinita.

Una consecuencia de esto es que lo siguiente es falso (aunque a todos nos gustaría que fuera cierto):

existe una funcion$\mu$que, dado un subconjunto acotado de$\mathbb{R}$, te dice su "tamaño". Precisamente:

1. Si$A\subset\mathbb{R}$está acotado, entonces$\mu\left(A\right) \in \left[0,\infty\right[$.
2. Si$\left\{A_n\right\}_{n\in\mathbb{N}}$es una secuencia de subconjuntos disjuntos acotados de$\mathbb{R}$(eso es,$A_n \cap A_m=\emptyset$cuando sea$n\neq m$) con unión acotada (es decir,$\bigcup A_n$está acotado), entonces$\sum\mu\left(A_n\right)=\mu\left(\bigcup A_n\right)$.
3. Si$A$está ligado,$x$es un número real, y definimos$A+x=\left\{a+x:a\in A\right\}$, entonces$\mu\left(A+x\right) = \mu\left(A\right)$.
4. $\mu\left(\left[0,1\right]\right) = 1$

En efecto, reescribiendo el primer hecho intercambiando el círculo por el intervalo semiabierto$\left[0,1\right[$e intercambiando rotaciones por turnos cíclicos "mod$1$", nos damos cuenta de que si$\mu$satisface las tres primeras condiciones anteriores, entonces$\mu\left(A\right)=0$para todos$A$.

La paradoja del cumpleaños

Si se seleccionan al azar 30 personas y tienen cumpleaños que se distribuyen de manera independiente (idéntica) uniformemente durante el año calendario, entonces la probabilidad de que dos (o más) de ellos tengan el mismo cumpleaños es aproximadamente$\frac{1}{12}$.

Antes de 1955 todo el mundo “sabía” que conocer el enésimo dígito decimal de$\pi$(y para cualquier otro irracional) era necesario conocer los dígitos anteriores. Un genio como Arquímedes (" Había más imaginación en la cabeza de Arquímedes que en la de Homero ": Voltaire) "lo sabía" muy bien como lo demuestra la Historia. Sin embargo, la fórmula Bailey-Borwein-Plouffe (fórmula BBP) terminó con este sagrado "conocimiento" durante siglos y ahora es posible conocer, por ejemplo, el dígito 33 sin conocer los precedentes.

En cuanto a la percepción intuitiva, es falso que una función numérica continua deba ser derivable al menos en un punto; es falso también que un pequeño cuadrado no pueda contener una curva de longitud infinita.

Aquí hay algunas declaraciones "obvias" a las que se puede aplicar la paradoja de Richard :

1. Para un predicado dado$P$, existe un conjunto$S$de$x$para cual$P(x)$es verdad. (La paradoja de Russell)
2. El conjunto de los números enteros y el conjunto de los números reales tienen el mismo tamaño infinito. (Argumento diagonal de Cantor).
3. Existe una formalización de la aritmética en la que todos los enunciados verdaderos son exactamente aquellos que son demostrables. (Teorema(s) de Gödel)
4. Existe un programa de computadora (máquina de Turing) que puede determinar efectivamente si cualquier otro programa de computadora no se detiene. (Problema de detención)

Hay muchos ejemplos en la teoría de grafos (extrema), donde un argumento obvio muestra que una declaración es verdadera, excepto que hay una serie de pequeños contraejemplos que son fáciles de pasar por alto.

Considere la siguiente afirmación: Sea$G$ser un gráfico con$n$vértices y el mayor número de aristas sujeto a la condición de que$G$no contiene un par de aristas disjuntas (es decir,$K_2 + K_2$). Entonces$G$es una estrella (es decir$K_{1,n-1}$).

Esto es obviamente cierto, si lo piensas por un momento. Pero para$n=3$, una mejor solución es tomar$G = C_3$. Y para$n=4$, tomando$C_3$además, un vértice aislado es tan bueno como tomar$K_{1,3}$.

Un orden lineal puede reconstruirse de forma única (hasta el isomorfismo ) a partir del conjunto de tipos de orden de sus segmentos iniciales propios .

Actualización: incluso si conocemos la cardinalidad del orden lineal y sabemos que no tiene un elemento máximo, este "teorema" aún no se cumple.

Todos los infinitos son del mismo tamaño.

Pero el teorema de Cantor muestra lo contrario.

Un subgrupo de un grupo generado finitamente puede no generarse finitamente y hay hasta isomorfismo como máximo dos$pq$grupos, donde$p$y$q$son primos

Para fortalecer tu ejemplo,$\sum_{p \ prime} 1/p$diverge

La hipótesis del continuo también parece tener una respuesta en ZFC, lo cual no es así.

En otra página, los matemáticos pensaron que los campos ciclotómicos "obviamente satisfacen el teorema de factorización única", lo que lleva a algunos intentos de prueba falsa del último teorema de Fermat.

A continuación, se podría pensar que la "trisección de ángulos" es posible o que cualquier conjunto de funciones analíticas$\{f_\alpha\}$, tal que por cada$z \in \mathbb C$, el conjunto$\{f_\alpha(z)\}$es contable, ella misma tiene que ser contable.

Estos son solo algunos ejemplos aleatorios que me vinieron a la mente y, dado que el término "obvio" es subjetivo, es muy posible que no esté de acuerdo con los elementos de mi lista. Supongo que depende en gran medida de tu formación matemática.

Si comienza a pensar en la rigidez de las conchas delgadas en$\mathbb{R}^3$, te encuentras rápidamente con una serie de resultados contradictorios.

Por ejemplo, es obvio que una capa esférica es ($C^2$) rígido, y esto es de hecho cierto. Una superficie lisa, cerrada y compacta con una curvatura gaussiana positiva en todas partes es igualmente rígida. Uno podría imaginar que estos resultados se generalizan a

• Cualquier superficie cerrada;
• Cualquier superficie cerrada con curvatura gaussiana positiva en todas partes pero en un número finito de puntos;
• Cualquier superficie con límite con curvatura gaussiana positiva en todas partes;

y todo esto es falso.

Además, después de pensar en los reflejos, o de pinchar y empujar una pelota de ping-pong, es intuitivamente obvio que una capa esférica no es$C^0$rígido. Pero realmente no puedes "ver" ninguna diferencia entre un$C^1$y un$C^2$deformación de la esfera, por lo que seguramente la esfera es$C^1$¿rígido? Lejos de ello, dada cualquier superficie cerrada arbitraria que sea topológicamente una esfera, y la distancia$\epsilon$, es posible$C^1$-insertar isométricamente una esfera$\epsilon$-¡Cerca de la superficie objetivo!

El siguiente es un ejemplo muy conocido, aunque probablemente un poco fuera del mundo de las matemáticas, más bien de la física. Muchas personas considerarían 'intuitivamente' que lo siguiente es cierto:

The heavier the object, the faster it falls down.

De hecho, la historia dice que se suponía que esto era de conocimiento común hasta que Galileo Galilei lo refutó (según cuenta la historia, al dejar caer dos bolas de la torre en Pisa, lo que nunca sucedió).

Una de las primeras clases de física que mucha gente tiene (estoy hablando de la escuela primaria aquí) tiene como objetivo demostrar que este teorema es falso, y en realidad todo cae con la misma aceleración (ignorando la resistencia del aire) independientemente del peso.

No es exactamente un teorema, pero engaña a todos los recién llegados a las matemáticas:

$e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$

$(1 + 1/\infty)$es$1$, obviamente. y 1 a la potencia de$\infty$obviamente sigue siendo 1.

No, es 2.718...

Aquí hay una proposición, cuando se pone en términos sencillos, una persona promedio afirmaría que es verdadera.

Todo subconjunto de números reales tiene una medida.

¿Cómo puede ser esto falso, cuando marcas una región, digamos en dos dimensiones, por supuesto, tiene un área? A menos que haya construido un conjunto Vitali en algún momento, tendemos a pensar que el concepto de longitud/área/volumen debe extenderse a todos los subconjuntos posibles.

Aquí hay otra proposición falsa.

Axioma de Determinación

Si estamos jugando un juego infinito de dos jugadores donde creamos un número real en$[0,1]$eligiendo dígitos decimales por turnos y uno de nosotros trata de colocar el número resultante en un conjunto de pagos predeterminado que ambos conocemos y el otro intenta evitarlo, ¿cómo puede ser que haya un juego en el que ninguno de los dos tenemos una estrategia ganadora? Ambos tenemos información completa sobre el conjunto de pagos, qué números evitar y qué números acertar, uno de nosotros debería poder idear una estrategia. Bueno, lamentablemente no.

Ambas proposiciones son inconsistentes con el axioma de elección, con el cual puedes construir los contraejemplos que no se "comportarán bien".

Realidad: La última proposición implica la primera. (en ZF, con el que se cree que AD es consistente).

$\textbf{Counter-Intuitive Example}$

Pruebas de geometría hechas de manera informal dibujando figuras en la pizarra. Entonces pasa por alto los axiomas de la geometría euclidiana, pretende que no necesita invocarlos ya que las figuras dibujadas parecen suficientes. Sin embargo, en la gravedad de la Tierra, la geometría euclidiana es solo una aproximación.

Infinidad de términos siempre tienen una suma igual a infinito.

Alguien más mencionó "hay más números racionales que enteros". En la misma línea, me costó mucho aceptar que

Hay más números enteros que números reales entre 0 y 1

Es falso. Quiero decir, ahora lo entiendo, pero intuitivamente me parecía muy mal antes de estudiar los números transfinitos.

Otro ejemplo de que 'obvio' no es cierto es la paradoja del tiempo de espera del autobús .

Si el tiempo medio entre dos autobuses consecutivos que llegan a una estación de autobuses es$M$, uno debe esperar que el tiempo medio que debe estar esperando en la estación antes de que llegue el próximo autobús también sea M. Pero esto no es cierto; y dependiendo de la distribución de la hora de llegada del autobús en particular, tendrá que esperar un tiempo$M'\geqslant M$

Para mí, un buen ejemplo de todas las "evidencias" que sugieren que era cierto es

hasta que Skewes demostró que$\pi(x) - \operatorname{li}(x)$cambia de signo infinitamente a menudo

Aquí hay una cosa que comúnmente se cree que es cierta, pero que es terriblemente incorrecta en muchos aspectos:

There is a notion of mathematics where we can say things are 
"actually true" or "actually false".  

Un ejemplo de cometer este error: el OP. Otros ejemplos: las múltiples respuestas.

Hay varias razones por las que esto está mal. Primero, en el sistema que la mayoría de los matemáticos asumen cuando no son explícitos, no tenemos un modelo estándar (no tenemos modelos dentro de ese sistema porque cualquier modelo mostraría el sistema consistente que sabemos que no podemos mostrar en ese sistema a través de bla, bla, Godel, bla). Sé que no quieres detalles, solo explicar a lo que me refiero). La verdad y la falsedad son semánticas: existen en modelos y, por lo tanto, sin uno, no hacemos afirmaciones de verdad o falsedad.

Pero también, las matemáticas no son "el sistema que la mayoría de los matemáticos asumen cuando no son explícitos", es la formalización en general. Hay muchos sistemas seriamente investigados por matemáticos que hacen numerosas derivaciones "contrarias a la intuición". Por ejemplo, todos estos son obvios e incorrectos en diferentes sistemas:

• Una afirmación no puede ser a la vez verdadera y falsa. (En la lógica paraconsistente, las declaraciones pueden ser tanto verdaderas como falsas y el sistema no colapsa hasta convertirse en algo trivial; de hecho, varios dialeteístas argumentan que este es un sistema lógico mucho más preciso para el razonamiento del mundo real).
• Hay funciones totales discontinuas. (En varios sistemas constructivos no es posible demostrar la existencia de funciones totales discontinuas. Algunos incluso son lo suficientemente fuertes como para demostrar que todas las funciones totales son continuas).
• Todo conjunto infinito A tiene la misma cardinalidad que AxA. (Esto no es necesariamente cierto en los sistemas sin el axioma de elección. Tarski intentó publicar su resultado sobre esta implicación y fue rechazado tanto por Frechet como por Lebesgue. Frechet pensó que el artículo era obvio y conocido y no tenía ningún mérito matemático. Lebesgue pensó que tanto el axioma de elección como la implicación de este eran incorrectos, por lo que el artículo no tenía mérito matemático).

Solo menciono estos ejemplos, no como respuestas al OP, sino simplemente para ilustrar mi respuesta real de que la pregunta en sí misma demuestra una suposición extremadamente común en matemáticas que, de hecho, es incorrecta.

EDITAR

Esta es un área que creo que a menudo es un lugar de malentendidos comunes, y la discusión en los comentarios deja en claro que debo elaborar. Las matemáticas modernas separan los dominios sobre los que hacemos declaraciones en sintaxis y semántica.

Sintaxis

La sintaxis es la teoría: el lenguaje formal, los axiomas especificados como oraciones en el lenguaje formal y algunas reglas metalógicas de inferencia. En la sintaxis, hablamos de oraciones, proposiciones, términos, derivaciones y pruebas. Es un lugar de manipulación de símbolos.

Semántica

La semántica es el modelo, es el significado que atribuimos a los enunciados de la teoría. Una interpretación de una teoría es un modelo que asigna a cada fórmula de la teoría un valor de significado, típicamente la verdad. La verdad es semántica y es específica de un modelo.

El problema"

Un modelo es una interpretación consistente del significado de verdad de una teoría. Si una teoría tiene un modelo, casi trivialmente se ha demostrado que es consistente. Pero... es bien sabido que una teoría lo suficientemente fuerte como para expresar la diagonalización de Gödel nunca puede probar su propia consistencia. Para estas teorías, nunca tendremos un modelo y no podemos hacer afirmaciones sobre el significado de ninguna fórmula.

En estas teorías, es incorrecto hablar de verdad o falsedad. No tenemos un modelo que dé sentido a eso. Nunca tendremos un modelo.

Eso no es realmente un problema. Durante siglos, los matemáticos habían combinado vagamente la derivación y la verdad y las habían discutido principalmente como una sola cosa. La derivación y la prueba se consideraban la parte importante de las matemáticas y la formalización. Todavía tienes eso.

Además, es perfectamente significativo derivar resultados que digan " si esta teoría es consistente y tiene un modelo, entonces...". La teoría de modelos ha estado haciendo eso durante casi un siglo.

¿Y los predicados de verdad?

Pero la gente parece querer más. Quieren hablar de la verdad, ya que es una forma de significado que ocupa un lugar especial. A menudo hacen todo lo posible para tratar de seguir asignando verdad y falsedad. Un enfoque común es formar predicados de verdad: predicados en la sintaxis que tienen la propiedad de que afirmar el predicado en una fórmula corresponde a afirmar la validez del enunciado (que es verdadero en todos los modelos).

Tenga en cuenta el cambio: un predicado de verdad es sintáctico. Todavía no estamos hablando de verdadero o falso aquí: el contexto de su uso sigue siendo si las declaraciones que incluyen el predicado "son derivables" u "obtienen". Las teorías pueden tener múltiples modelos: la mayoría de las teorías no son categóricas solo de cosas como Löwenheim-Skolem, por lo que los predicados no pueden hablar sobre la verdad. Pueden hablar de validez, y eso es realmente lo que está pasando aquí, pero incluso eso es extremadamente problemático.

Las teorías incompletas en realidad no pueden derivar nada acerca de la validez de la teoría total. Y de hecho, aquí es donde entra el teorema de Tarski sobre la indefinibilidad y se demuestra que tal predicado en realidad no existe. Así que otros siguen con una jerarquía y extensiones de reflexión de la teoría base, buscando alguna aproximación de un punto fijo para la validez.

Pero esto en realidad no compra nada que tenga que ver con la comprensión de la verdad. No puede. No hay nada que puedas hacer para alcanzar la verdad porque no puedes saber si la teoría es consistente o no y si la verdad existe. Y ningún intento de ir más allá de la derivabilidad en realidad da un predicado que se puede usar y decir "esto es cierto". El predicado solo es útil para decir "esto es demostrable".

Pero ya hay predicados de demostrabilidad, y esa investigación es mucho más rentable. Los predicados de verdad son oráculos sin voz. No ayudan a nadie a hacer afirmaciones sobre la verdad. Son simplemente reformulaciones de "si supiéramos que X es consistente, y tuviéramos una visión platónica que pudiera ver los valores de verdad en todos los modelos, y pudiéramos cotejar las infinitas posibilidades y ver las validezes ocultas para siempre, entonces este predicado se aplicaría a esto". clase de enunciados estaría de acuerdo con aquellas afirmaciones que son válidas". Pero si tuviéramos esa vista sobrenatural, podríamos decir más fácilmente "oye, eso es cierto en ese modelo, y eso es falso allí". Sin eso, podemos usar el predicado para decir "la verdad se conserva en esta derivación". Lo cual no agrega nada.

Un predicado de verdad no habla de la verdad. Es irrelevante al punto.

Entonces...

Así que... la vida continúa. Todo mi objetivo al publicar esta respuesta fue ilustrar que la pregunta inicial estaba haciendo una suposición obvia común que en realidad es incorrecta. No debe hablar sobre la verdad en la teoría ambiental de uso común, solo hable sobre lo que es demostrable y estará bien. Si desea hablar sobre la verdad, asegúrese de especificar la teoría ambiental y es una en la que tales discusiones sean significativas. O hablar de modelos condicionales como lo hacen los teóricos de modelos.

Puede que no sea intelectualmente satisfactorio para algunas personas. Claramente, al momento de escribir esto, mi respuesta ha recibido 3 votos negativos y dos positivos, por lo que no le sienta bien a algunos lectores anónimos de un sitio web de matemáticas. Pero no hay nada controvertido sobre el punto. Se conoce desde hace casi 100 años y sigue siendo un error común.

La siguiente afirmación es incorrecta:

The inner angles of a triangle always sum to 180 degrees.

Si bien suena plausible que la suma de los ángulos sea una constante, en realidad es una propiedad del espacio. En el espacio euclidiano, los ángulos internos de un triángulo siempre suman 180 grados.

Si un cálculo proposicional A contiene todos los teoremas del cálculo proposicional B bajo separación y sustitución uniforme de variables proposicionales, pero B no contiene todos los teoremas de A, entonces uno de los axiomas simples más cortos de A es más largo que cualquiera de los axiomas simples más cortos. axiomas de B. O uno podría decir más al azar "si el cálculo proposicional A es más grande que el cálculo proposicional B, entonces uno de los axiomas individuales más cortos de A es más largo que cualquiera de los axiomas individuales más cortos de B".

Tal vez esto no sea exactamente lo que estabas buscando, ¡pero sigue siendo divertido! ¿Qué tal una prueba que obviamente es incorrecta pero (para los recién llegados) es difícil averiguar qué es lo que está mal?

Dejar$x = y$. Entonces

Un teorema "obviamente verdadero":

Si toma un objeto 3d$U$y cortarlo en un número finito de piezas, cualquier objeto$V$Reorganizo esas piezas para que tengan el mismo volumen que el objeto.$U$comencé con

Pero, de hecho, la paradoja de Banach-Tarski nos dice que esto no es cierto, si construimos nuestros subconjuntos de número finito de$U$bastante "extrañamente", en realidad podemos construir un$V$con cualquier volumen que nos gustaría.

Cualquier función continua es diferenciable al menos en alguna parte, ¿verdad?

Falso, la función de Wierstrass es un famoso contraejemplo

https://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_function

Es continuo en todas partes, pero no es diferenciable en ninguna parte.

Una función analítica con soporte compacto se desvanece de forma idéntica.

Lebesgue dijo una vez que las proyecciones de Borel se establecen en$\mathbb R ^2$sobre uno de sus ejes se encuentran también decorados de Borel. Este hecho es en realidad falso, cuya realización se atribuye al matemático de corta vida Mikhail Yakovlevich Suslin.

Desafortunadamente es muy difícil encontrar un contraejemplo. El único que he visto tiene un resultado en la teoría descriptiva de conjuntos sobre$\mathbb N ^ {\mathbb N}$y utiliza el hecho de que es homeomorfo para$\mathbb R$.

El sueño del estudiante de primer año:

Obviamente falso. Pero cierto en característica$p$.