Una ecuación que genera una forma hermosa o única para motivar a los estudiantes en matemáticas

Me gustaría mencionar los espirógrafos .

Las fórmulas son en realidad bastante simples, pero me temo que mi Latex-foo no es suficiente para reproducirlas aquí adecuadamente. Así que solo me referiré a la página de Wikipedia y algunas imágenes de ejemplo (también de Wikipedia):

Los fractales son siempre una buena fuente de imágenes. No es demasiado difícil explicar el concepto detrás de un fractal, y luego los estudiantes pueden disfrutar de las bonitas representaciones. Algunos de ellos también son fáciles para que los estudiantes jueguen con ellos mismos: para el copo de nieve de Koch, la curva del dragón o la junta de Sierpinski, no es necesario que conozca ninguna teoría de función compleja. Los fractales también pueden dar lugar a interesantes debates sobre el "infinito".

Editar: ¡Debería haber leído la pregunta con más cuidado! Ecuaciones. Déjame tratar de salvar mi búsqueda en Google de fotos bonitas...

A menudo, los fractales surgen de la aplicación iterada de una sola función (Julia establece en$\mathbb{C}$de$z^2 + c$como la madre de todos los ejemplos), por lo que corresponden a conjuntos de soluciones de una ecuación con expresiones infinitamente anidadas. También podría escribir el procedimiento para generar el copo de nieve de Koch o la curva del dragón como una ecuación. (Formalmente, el primero se llama "copo de nieve de una métrica", pero la notación y los conceptos probablemente estén un poco por encima de su audiencia). Estos también ayudan a señalar que, desde una perspectiva, las funciones son de procedimiento.

Curvas polinomiales de la forma$\displaystyle\sum_{k=0}^na_k\cdot x^{2k}\cdot y^{2(n-k)}=r^{2n}$, con$a_k=a_{n-k}$. Esto es para el caso

$n=4$y$r=2$, con$a_0=a_4=0.1$,$a_1=a_3=4$, y$a_2=-7$. Al modificar los parámetros,

Se pueden formar formas muy diferentes.

Más gráficos en forma de estrella, determinados al trazar la ecuación polar$r(t)=|\cos(nt)|^{\sin(2nt)}$

para$2n$entre$1$y$8$, y$t\in(0,2\pi)$.

Por supuesto, las curvas del corazón son realmente bonitas, o rosas o cicloides .

Pero si está buscando cosas realmente geniales, ¿qué pasa con la curva de Albert Einstein ? Esta ecuación paramétrica realmente da 2Pac . Gauss también es interesante.

WolframAlpha puede trazar las curvas de otras personas . Mi favorito es Nicolas Cage .

Aquí hay una forma de generar grupos de curvas periódicas intrigantes (la mayoría de las veces) dibujadas agregando números complejos de longitud unitaria de la forma

para$0 \le n < abc$, dónde$a,b,c$son números enteros positivos fijos.

Aquí se muestran algunos de ellos con los correspondientes valores de$a,b,c$:

Tenga en cuenta que a veces se pueden generar dos curvas iguales, como las formas de reloj de arena en las posiciones 1 y 3, con diferentes valores de$a,b,c$.

Aquí está el programa de Matlab que ha generado estas 25 curvas:

clear all;close all;
set(gcf,'color','w');axis equal off;hold on
for P=1:5
   for Q=1:5;
      V=ceil(9*rand(1,3));a=V(1);b=V(2);c=V(3);L=a*b*c;
      S=zeros(1,L+1);
      for n=0:L;
         m=n/a+(n^2)/b+(n^3)/c;
         S(n+1)=exp(2*pi*i*m);
      end
      S=cumsum(S);
      M=mean(S);S=S-M;R=max(abs(S));S=S/R;
      shi=3*(P+i*Q);
      plot(shi+S);
      text(real(shi),-1.5+imag(shi),num2str(V),'horizontalalignment','center');
   end;
end;

Observaciones:

1) Esta idea proviene del logotipo explicado que se puede encontrar aquí: https://math.stackexchange.com/users/119775/david

2) Sobre los espirógrafos, se puede usar la siguiente simulación espléndida: https://nathanfriend.io/inspirograph/