Duda con Expresión Lagrangiana Relativista

Para su segunda pregunta, observe que su hamiltoniano es de hecho

$$\mathcal{H}=\frac{p_{\alpha}p^{\alpha}}{2m}$$

porque$\mathcal{H}=\mathcal{H}\left(x^{\alpha},p_{\alpha}\right)$por lo que no se le permite usar$u_{\alpha}$. Vamos a probarlo tratando de establecer las ecuaciones de Hamilton

$$\begin{cases}\frac{{\rm d}p_{\alpha}}{{\rm d}\tau}=-\frac{\partial\mathcal{H}}{\partial x^{\alpha}}=0\\\frac{{\rm d}x^{\alpha}}{{\rm d}\tau}=\frac{\partial\mathcal{H}}{\partial p_{\alpha}}=\frac{p^{\alpha}}{m}\end{cases}$$

Eso es exactamente idéntico a su ecuación usando la mecánica lagrangiana, por lo que parece que ha construido el hamiltoniano correcto. Tenga en cuenta que el hamiltoniano no es la energía total, simplemente lo es en algunos casos. El punto clave aquí es que no puedes poner$p_{\alpha}p^{\alpha}=m^{2}c^{2}$, por las mismas razones por las que no pusiste$u_{\alpha}u^{\alpha}=c^{2}$en el lagrangiano terminando con

$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}mc^{2}$$

El hecho de que ambos$\mathcal{L}$y$\mathcal{H}$son constantes si sustituye los intervalos significa que son constantes sobre trayectorias.

EDICIÓN 1: si desea que su hamiltoniano sea la energía total, debe escribir su lagrangiano como

$$\mathcal{L}^{\prime}=-\frac{mc^{2}}{\gamma}=-mc^{2}\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}$$

y use$t$en lugar de$\tau$Llegar

$$\boldsymbol{p}=\frac{\partial\mathcal{L}^{\prime}}{\partial\boldsymbol{v}}=\frac{m\boldsymbol{v}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$$ y entonces

$$\mathcal{H}^{\prime}=\frac{\partial\mathcal{L}^{\prime}}{\partial\boldsymbol{v}}\cdot\boldsymbol{v}-\mathcal{L}^{\prime}=\frac{mv^{2}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}+mc^{2}\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}=$$

$$=\frac{mc^{2}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}=\gamma mc^{2}$$

EDIT 2: Para obtener el Lagrangiano$\mathcal{L}^{\prime}=-\frac{mc^{2}}{\gamma}$de la tuya, deberías mirar la acción

$$S\left[u_{\alpha}\right]=\int\mathcal{L}{\rm d}\tau$$

Nuestro objetivo es cambiar las variables a$\boldsymbol{x},\boldsymbol{v},t$en lugar de$x^{\alpha},u_{\alpha},\tau$. Usando$\frac{{\rm d}\tau}{{\rm d}t}=\frac{1}{\gamma}$esto da

$$S\left[\boldsymbol{x}\right]=\int\mathcal{L}\frac{{\rm d}\tau}{{\rm d}t}{\rm d}t=\int\frac{mc^{2}}{2\gamma}{\rm d}t$$ entonces obtenemos que nuestro nuevo Lagrangiano sea

$$\mathcal{L}^{\prime\prime}=\frac{mc^{2}}{2\gamma}=-\frac{1}{2}\mathcal{L}^{\prime}$$

Esto es identico a$\mathcal{L}^{\prime}$hasta una constante, por lo que la física de$\mathcal{L}^{\prime}$y$\mathcal{L}^{\prime\prime}$es el mismo.

1. El Lagrangiano de OP (1) es$^1$

   $$\begin{align}L~=~&\frac{m\dot{x}^2}{2}-\frac{mc^2}{2}, \cr \dot{x}^2~:=~&g_{\mu\nu}(x)~ \dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}~<~0, \cr \dot{x}^{\mu}~:=~& \frac{dx^{\mu}}{d\tau},\end{align}\tag{A}$$ (hasta un término constante$-\frac{mc^2}{2}$, que no cambiará los EL eqs. ). Aquí$m$es el resto/masa invariante . El Lagrangiano (A) es igual al siguiente Lagrangiano $$L~=~\frac{\dot{x}^2}{2e}-\frac{e(mc)^2}{2} \tag{B}$$ en el calibre $$e~=~\frac{1}{m}, \tag{C}$$ cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE. Aquí$e=e(\tau)$es un campo de einbein, y$\tau$es un parámetro de línea de mundo (no necesariamente tiempo propio).

2. El hamiltoniano que corresponde al lagrangiano (B) es

   $$\begin{align} H~=~& \frac{e}{2}(p^2+(mc)^2), \cr p^2~:=~&g^{\mu\nu}(x)~ p_{\mu}p_{\nu}~<~0, \cr p_{\mu}~=~& \frac{1}{e}g_{\mu\nu}(x)~\dot{x}^{\nu}, \end{align}\tag{D}$$ cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE. En el calibre (C), el hamiltoniano (D) se convierte en $$\begin{align} H~=~& \frac{1}{2m}(p^2+(mc)^2)~=~\frac{p^2}{2m}+\frac{mc^2}{2}, \cr p_{\mu}~=~& mg_{\mu\nu}(x)~\dot{x}^{\nu},\end{align} \tag{E}$$ que está relacionado con la ecuación de OP. (7) hasta el término constante antes mencionado$\frac{mc^2}{2}$.

   Para la formulación hamiltoniana en varios calibres, consulte, por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.

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$^1$Usamos la convención de signos de Minkowski$(−,+,+,+)$.