Hamiltoniano para una partícula sin masa - definición formal de energía

Question

Hamiltoniano para una partícula sin masa - definición formal de energía

energía
Física
relatividad general
dinámica restringida
formalismo lagrangiano
formalismo hamiltoniano

Yildiz

Dado un Lagrangiano, es posible calcular los momentos ya partir de ellos el Hamiltoniano, si el sistema es lo suficientemente regular. Hoy me he dado cuenta de que el lagrangiano de una partícula sin masa en un campo gravitacional es singular y está descrito por una restricción hamiltoniana. Aquí está mi problema: dado este Lagrangiano, el Hamiltoniano siempre se desvanece; si siempre es cero, ¿cómo es posible hablar de una "energía" asociada a una partícula sin masa?

una mente curiosa

La energía de una partícula sin masa es

E = p c

$E = pc$ , ¿qué tiene que ver el hamiltoniano en esto? El hamiltoniano no siempre es la "energía", especialmente cuando el sistema está restringido o es invariante en la reparametrización en el tiempo.

Yildiz

Estoy de acuerdo contigo, de todos modos estaba buscando una definición formal de energía en el contexto de la teoría hamiltoniana. Para un sistema libre no relativista, la respuesta es simple: la energía es el hamiltoniano, pero en el caso relativista generalmente no hay hamiltoniano, si es así, ¿de dónde proviene la definición de energía?

una mente curiosa

La energía es la carga de Noether asociada a las traslaciones en la variable tiempo (que normalmente será una variable de espacio de fase y no el parámetro de evolución (que es el tiempo propio) en el marco relativista).

Yildiz

Lo sabía, y aquí está mi duda: en el contexto de la relatividad general, ¿a qué te refieres con tiempo variable? Si es la coordenada x-cero, el lagrangiano no es invariante, ¿entonces es el parámetro de evolución, normalmente llamado lambda?

jamals

@Yildiz Como dijo, la energía corresponde a la carga de Noether asociada con las traducciones de tiempo. Si la teoría es invariante bajo las transformaciones de Lorentz, entonces puede extraer la energía del tensor de tensión-energía

T^{μ ν}

$T^{\mu\nu}$ que se puede calcular tomando una variación del Lagrangiano con respecto a la métrica, factores de módulo de determinantes y constantes métricas. Sin embargo, cuando se trata de un sistema que está restringido o es invariable en la reparametrización en el tiempo, existen otras complicaciones, como señaló ACuriousMind.

Yildiz

Tienes razón, dije cosas equivocadas en mi último mensaje: ahora todo está claro, gracias :)

Yildiz

Hoy he pensado en un caso particular: en la métrica de Freedman-Robertson, el Lagrangiano para una partícula sin masa no es invariante para la traslación del tiempo debido al factor de escala, entonces, ¿cómo es posible hablar sobre la energía de un fotón si no hay ¿Ninguna corriente?

Yildiz

Me parece que en el contexto de la relatividad general no es posible hablar en general de una "conservación de energía" porque la métrica generalmente no permite la traducción de coordenadas, ¿verdad?

Respuestas (1)

Hamiltoniano para una partícula sin masa - definición formal de energía

La energía de una partícula sin masa es $E = pc$ , ¿qué tiene que ver el hamiltoniano en esto? El hamiltoniano no siempre es la "energía", especialmente cuando el sistema está restringido o es invariante en la reparametrización en el tiempo.
Estoy de acuerdo contigo, de todos modos estaba buscando una definición formal de energía en el contexto de la teoría hamiltoniana. Para un sistema libre no relativista, la respuesta es simple: la energía es el hamiltoniano, pero en el caso relativista generalmente no hay hamiltoniano, si es así, ¿de dónde proviene la definición de energía?
La energía es la carga de Noether asociada a las traslaciones en la variable tiempo (que normalmente será una variable de espacio de fase y no el parámetro de evolución (que es el tiempo propio) en el marco relativista).
Lo sabía, y aquí está mi duda: en el contexto de la relatividad general, ¿a qué te refieres con tiempo variable? Si es la coordenada x-cero, el lagrangiano no es invariante, ¿entonces es el parámetro de evolución, normalmente llamado lambda?
@Yildiz Como dijo, la energía corresponde a la carga de Noether asociada con las traducciones de tiempo. Si la teoría es invariante bajo las transformaciones de Lorentz, entonces puede extraer la energía del tensor de tensión-energía $T^{\mu\nu}$ que se puede calcular tomando una variación del Lagrangiano con respecto a la métrica, factores de módulo de determinantes y constantes métricas. Sin embargo, cuando se trata de un sistema que está restringido o es invariable en la reparametrización en el tiempo, existen otras complicaciones, como señaló ACuriousMind.
Tienes razón, dije cosas equivocadas en mi último mensaje: ahora todo está claro, gracias :)
Hoy he pensado en un caso particular: en la métrica de Freedman-Robertson, el Lagrangiano para una partícula sin masa no es invariante para la traslación del tiempo debido al factor de escala, entonces, ¿cómo es posible hablar sobre la energía de un fotón si no hay ¿Ninguna corriente?
Me parece que en el contexto de la relatividad general no es posible hablar en general de una "conservación de energía" porque la métrica generalmente no permite la traducción de coordenadas, ¿verdad?

qmecanico · Answer 1

Comentarios a la publicación (v3):

La noción de hamiltoniano y la noción de energía total no necesitan coincidir, cf. esta publicación de Phys.SE y sus enlaces. La energía total es la carga de Noether asociada con las traducciones de tiempo. En la teoría de la relatividad, la noción de tiempo (y por lo tanto la noción de energía) depende del sistema de coordenadas elegido. En particular, la noción de energía total (a diferencia de la noción de energía en reposo) no es invariante. Ver también los comentarios anteriores de ACuriousMind y JamalS.
En el contexto de, por ejemplo, la métrica Minkowski o la métrica FLRW
$\begin{matrix} (1) & d s^{2} = \sum_{m, v = 0}^{3} {gramo}_{(4) m v} d X^{m} ⊙ d X^{v} = - d X^{0} ⊙ d X^{0} + a (X^{0})^{2} \sum_{i, j = 1}^{3} {gramo}_{(3) i j} d X^{i} ⊙ d X^{j}, \end{matrix}$ $ds^2~=~\sum_{\mu,\nu=0}^3g_{(4)\mu\nu}\mathrm{d}x^{\mu}\odot \mathrm{d}x^{\nu}~=~-\mathrm{d}x^0\odot \mathrm{d}x^0+a(x^0)^2\sum_{i,j=1}^3g_{(3)ij}\mathrm{d}x^i\odot \mathrm{d}x^j ,\tag{1}$ es posible hacer el hamiltoniano $H$ para una partícula puntual sin masa igual a la energía total $\begin{matrix} (2) & C | pag | := C \sqrt{\sum_{i, j = 1}^{3} {pag}_{i} {gramo}^{(4) i j} {pag}_{j}} = \frac{C}{a (X^{0})} \sqrt{\sum_{i, j = 1}^{3} {pag}_{i} {gramo}^{(3) i j} {pag}_{j}} \end{matrix}$ $c|{\bf p}|~:=~c\sqrt{\sum_{i,j=1}^3 p_i g^{(4)ij}p_j}~=~\frac{c}{a(x^0)}\sqrt{\sum_{i,j=1}^3 p_i g^{(3)ij}p_j} \tag{2}$ eligiendo la condición de calibre estático $x^0=c\tau$ , dónde $\tau$ es el parámetro de línea universal (que no es el tiempo adecuado). Para obtener más información, consulte, por ejemplo, esta publicación de Phys.SE. Tenga en cuenta que la energía total (2) no se conserva en el caso FLRW debido al factor de escala $a(x^0)$ con dependencia temporal explícita.

Gracias Qmechanic, pero no puedo usar el indicador estático en mi caso. Si trato de usarlo, también defino la escala de factores, y esto es inconsistente.
El Lagrangiano es un parámetro de Lagrange multiplicado por la restricción con una métrica FRW plana. Si calculas las ecuaciones de Euler-Lagrange para la dinámica de la coordenada temporal encontrarás una relación simple: la derivada de la coordenada temporal respecto al parámetro de evolución es igual a la inversa de la escala factorial por una constante. En este punto, si establece la coordenada de tiempo t como parámetro libre, fijará la escala del factor en una constante: este es mi problema.
Disculpe si no puedo publicar fórmulas, pero no sé cómo hacerlo: de todos modos di lo mejor de mí para explicar el problema.
Tienes que aprender a escribir fórmulas. Es realmente bastante simple. Haga clic en el botón 'editar' en otras publicaciones para realizar ingeniería inversa de cómo se hace (sin hacer una edición). O ver aquí y enlaces en el mismo.
El lagrangiano es $L = g_{\mu\nu}(x)\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}\lambda$ dónde $\lambda$ es un múltiplo de Lagrange y $g_{\mu\nu}$ es la métrica FRW con ${a}$ como escala factorial. La dinámica en $x^{0}$ es dado por $\partial x^{0}/\partial {t}= 1/ {a}$ y como pueden ver, si elijo el indicador estático $x^{0}=ct$ , $a$ se convierte en una constante. ¿Significa que estoy usando un Lagrangiano incorrecto?
La relación $x^{0}=ct$ es una definición. No es la condición de calibre estático $x^0=c\tau$ , dónde $\tau$ es el parámetro de línea universal (que no es el tiempo adecuado).
No es el indicador estático y tienes razón, de todos modos si configuras $x^{0}=t$ , $a$ se definirá de forma única y esto plantea un conflicto con la invariancia de reparametrización, ¿está de acuerdo conmigo?
Antes de la aplicación de EFE (es decir, ecuaciones de Friedmann ), el factor de escala $a$ es en principio arbitrario.
Ok, pero me gustaría acoplar este Lagrangiano con el de Einstein-Hilbert, y en este caso no se puede decir que la escala factorial es arbitraria.

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