Teorema de Noether supersimétrico y supercorrientes: requisitos de invariancia

Question

Teorema de Noether supersimétrico y supercorrientes: requisitos de invariancia

Física
supersimetría
nivel de investigación
corriente eléctrica
teorema de noethers

jj_p

Considerar $\mathcal{N}=1,d=4$ SUSY con $n$ supercampos quirales $\Phi^i,$ Potencial Kaehler $K,$ superpotencial $W$ y acción ( $\overline{\Phi}_i$ es conjugado complejo de $\Phi^i$ )

S = \int d^{4} X [\int d^{2} θ d^{2} \bar{θ} k (Φ, \bar{Φ}) + \int d^{2} θ W (Φ) + \int d^{2} \bar{θ} \bar{W} (\bar{Φ})] .

$S= \int d^4x \left[ \int d^2\theta d^2\overline{\theta} K(\Phi,\overline{\Phi})+ \int d^2\theta W(\Phi) + \int d^2\overline{\theta} \overline{W}(\overline{\Phi})\right].$

Como en Weinberg (QFT, volumen 3, página 89), que requiere la invariancia de $K$ y $W$ por debajo

\begin{aligned} d Φ^{i} & = i ϵ q_{j}^{i} Φ^{j} \\ d {\bar{Φ}}_{i} & = - i ϵ {\bar{Φ}}_{j} q_{i}^{j} \end{aligned}

$\begin{align}\delta\Phi^i &= i\epsilon Q^{i}_{~j}\Phi^j \\ \delta\overline{\Phi}_i &=- i\epsilon \overline{\Phi}_jQ_{~i}^{j}\end{align}$ con

ϵ

$\epsilon$ pequeño parámetro real constante positivo y

Q

$Q$ matriz hermitiana, se obtienen algunas condiciones sobre

K

$K$ y

W,

$W,$ a saber (que denota

K_{i} = \frac{\partial K}{\partial Φ^{i}}

$K_i=\frac{\partial K}{\partial\Phi^i}$ y

K^{i} = \frac{\partial K}{\partial {\bar{Φ}}_{i}},

$K^i=\frac{\partial K}{\partial\overline{\Phi}_i},$ y lo mismo para

W

$W$ )

k_{i} q_{j}^{i} Φ^{j} = {\bar{Φ}}_{j} q_{i}^{j} k^{i}

$K_i Q^i_{~j} \Phi^j = \overline{\Phi}_j Q^j_{~i} K^i$

W_{i} q_{j}^{i} Φ^{j} = 0 = {\bar{Φ}}_{j} q_{i}^{j} {\bar{W}}^{i}

$W_i Q^i_{~j}\Phi^j=0=\overline{\Phi}_j Q^j_{~i} \overline{W}^i$ y luego puede calcular la corriente de Noether asociada a tales transformaciones, promover

ϵ

$\epsilon$ a un supercampo quiral completo

ϵ Λ

$\epsilon\Lambda$ , etc.

La invariancia obtenida implica $\delta_{\epsilon}S=0$ para las transformaciones anteriores.

PREGUNTA: ¿lo contrario también es cierto? es decir, requiriendo $\delta_{\epsilon}S=0$ (en lugar de la condición de invariancia aparentemente más fuerte en $K$ y $W$ ), ¿se obtienen las mismas restricciones que las anteriores en $K$ y $W?$

Respuestas (1)

Teorema de Noether supersimétrico y supercorrientes: requisitos de invariancia

Frederic Brunner · Answer 1

La respuesta es sí ; esto se puede demostrar evaluando la variación de la acción. La acción consta de tres términos, los consideraremos por separado:

d_{ϵ} k (Φ, \bar{Φ}) = \frac{\partial k (Φ, \bar{Φ})}{\partial Φ^{i}} d_{ϵ} Φ^{i} + \frac{\partial k (Φ, \bar{Φ})}{\partial {\bar{Φ}}_{i}} d_{ϵ} {\bar{Φ}}_{i} = i ϵ k_{i} {q^{i}}_{j} Φ^{j} - i ϵ k^{i} {\bar{Ψ}}_{j} {q^{j}}_{i},

$\delta_\epsilon K(\Phi,\bar{\Phi})=\frac{\partial K(\Phi,\bar{\Phi})}{\partial\Phi^i}\delta_\epsilon \Phi^i+\frac{\partial K(\Phi,\bar{\Phi})}{\partial\bar{\Phi}_i}\delta_\epsilon\bar{\Phi}_i=i\epsilon K_i {Q^i}_j\Phi^j-i\epsilon K^i\bar{\Psi}_j{Q^j}_i,$

d_{ϵ} W (Φ) = \frac{\partial W (Φ)}{\partial Φ^{i}} d_{ϵ} Φ^{i} = i ϵ W_{i} {q^{i}}_{j} Φ^{j}

$\delta_\epsilon W(\Phi)=\frac{\partial W(\Phi)}{\partial \Phi^i}\delta_\epsilon \Phi^i=i\epsilon W_i {Q^i}_j\Phi^j$

d_{ϵ} \bar{W} (\bar{Φ}) = \frac{\partial \bar{W} (\bar{Φ})}{\partial {\bar{Φ}}_{i}} d_{ϵ} {\bar{Φ}}_{i} = - i ϵ {\bar{W}}^{i} {\bar{Ψ}}_{j} {q^{j}}_{i},

$\delta_\epsilon \overline{W}(\bar{\Phi})=\frac{\partial \overline{W}(\bar{\Phi})}{\partial \bar{\Phi}_i}\delta_\epsilon \bar{\Phi}_i=-i\epsilon \overline{W}^i\bar{\Psi}_j{Q^j}_i,$

donde he usado las mismas convenciones y abreviaturas que tú. Para que desaparezca la variación de la acción, cada una de las expresiones anteriores tiene que ser igual a cero por separado. Esto conduce precisamente a las mismas restricciones que ha anotado.

gracias por la respuesta. el punto radica precisamente en i. convencerse de que las dos contribuciones pueden tratarse por separado; ii. probar que la desaparición de la acción funcional requiere la desaparición de las piezas anteriores, que son una especie de integrandos, y para las cuales creo que se requiere algún tipo de argumento bicomplejo variacional

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jj_p

Respuestas (1)

Frederic Brunner

jj_p

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