Teorema de muestreo y reconstrucción

Si la señal está perfectamente limitada en banda, entonces no se puede obtener información adicional muestreando más rápido que el doble del ancho de banda. Así que la reconstrucción perfecta debe ser posible. Es como dijo @DanMills: hay una y solo una curva que pasará a través de los puntos muestreados y será correcta, y esa es la curva que obtendría de un filtro de reconstrucción perfecto.

(Tenga en cuenta que se vuelve más extraño, al menos en teoría, si el ancho de banda es$B$, entonces no necesita probar$x(t)$en$2B$-- puedes probar$x(t)$y$\frac{d x(t)}{dt}$simultáneamente en$B$, o muestrear hasta la tercera derivada (es decir, recolectar cuatro muestras) en$\frac{B}{2}$, o cometer varios otros delitos a la señal antes de probar un$N$vector ancho en$\frac{2B}{N}$. La mayoría de estos esquemas (definitivamente los derivados que menciono) serían terriblemente poco prácticos, pero en teoría funcionarán, y ocasionalmente te tropiezas con esquemas que realmente se usan en la realidad).

Puede pensar en cualquier señal perfectamente limitada en banda como la superposición de un conjunto de$\frac{\sin(t)}{t} = \text{sinc}(t)$curvas, con sus picos posicionados uniformemente a lo largo del eje del tiempo. Su espaciado es$\frac{2}{BW}$.

sinc(x) también resulta ser la respuesta en el dominio del tiempo de un filtro de paso bajo perfecto, y explica cómo se logra la reconstrucción (interpolación) en el tiempo continuo a partir de una serie de muestras discretas.

Cuando muestreamos uniformemente una señal, cada muestra es una medida directa de la amplitud de una de esas ondas sinc(). Esto funciona porque es una propiedad de la función sinc() que es cero en cada punto de muestreo, excepto en su propio pico. En otras palabras, cuando realiza una medición, no recibe ninguna "interferencia" de ninguna de las otras funciones sinc(). Por lo tanto, el conjunto de N medidas discretas contiene toda la información en la señal de tiempo continuo representada por esa colección de ondas sinc().

Ahora, se vuelve aún más extraño de lo que aludía TimWestcott: ¡las muestras ni siquiera tienen que estar espaciadas uniformemente en el tiempo! Resulta que CUALQUIER N muestras únicas tomadas dentro de una ventana de tiempo (con ciertas limitaciones) de una señal perfectamente limitada en banda se pueden usar para reconstruir esa señal. ¡Sin embargo, se necesitan muchas más matemáticas para hacerlo!

Con el muestreo no uniforme, ya no obtiene una medición limpia de solo una de las amplitudes sinc(). En cambio, está obteniendo una combinación de muchos, si no todos. Sin embargo, dado que sabe exactamente dónde se encuentra en cada uno (obviamente, cada muestra debe tener una marca de tiempo), es posible resolver el gran sistema de ecuaciones lineales para encontrar las amplitudes reales y, por lo tanto, reconstruir la señal original. Por supuesto, este proceso es muy sensible a pequeñas perturbaciones (ruido y errores matemáticos, por ejemplo), y estoy descartando algunos detalles sobre las restricciones en el conjunto de muestras, pero el principio general se mantiene.

Ya hay buenas respuestas aquí. Tal vez aquí uno muy corto que podría ser útil. Supongo que sabes algo sobre FFT, espectro o al menos filas de Fourier.

Mira la segunda foto que publicaste. ¿Qué frecuencias aparecen en su descomposición de Fourier? Obviamente, tiene frecuencias mucho más altas que la curva de la imagen uno. Pero con la distancia entre los puntos de muestreo (y, por lo tanto, la frecuencia de muestreo), está limitado a algo cuya frecuencia más alta debe ser inferior a la mitad de la frecuencia de muestreo. O al revés:

Los puntos reconstruirán algo con la menor cantidad de sinusoides necesarios para llegar a los puntos.

Una forma de representar una señal es por su evolución en el tiempo (el dominio del tiempo). Otra forma equivalente es por sus componentes de frecuencia (el dominio de frecuencia). Cuanto más "pronunciada" o "más nítida" sea la variación en una señal en el dominio del tiempo, mayor será el contenido de frecuencia de esa señal.

La señal que muestra en la Figura 1 puede tener un espectro de frecuencia como el siguiente:

Hay una frecuencia máxima fmax1 más allá de la cual el contenido de frecuencia es cero, lo que significa que la señal tiene una banda limitada. Para reconstruir la señal sin errores, muestree a una tasa mínima de fs1 = 2*fmax1 (la tasa de Nyquist).

La señal que muestra en la Figura 2 tiene un contenido de mayor frecuencia ya que colocó fuertes variaciones entre varias muestras. Su espectro de frecuencia puede parecerse a esto:

El componente de frecuencia más alta en la señal de la Figura 2 ( fmax2 ) es mayor que el componente de frecuencia más alta en la señal de la Figura 1 ( fmax1 ). Esto significa que debe muestrear a una velocidad más alta para reconstruir la señal, fs2 = 2*fmax2 > fs1 .

En resumen, puede agregar tantas pequeñas variaciones a las señales como desee, pero al hacerlo introduce un contenido de mayor frecuencia y debe aumentar la frecuencia de muestreo de acuerdo con el teorema de Nyquist.

Puede argumentar que una señal sin banda limitada tiene un contenido de frecuencia que se extiende hasta el infinito, y para tal señal no podemos definir una tasa de muestreo mínima para una reconstrucción sin errores. En situaciones prácticas, limitamos la banda de las señales con filtros antialiasing para garantizar que el contenido de frecuencia por encima de cierta frecuencia sea cero.