Teorema de Goldstone, ruptura de simetría y modelo de Heisenberg

El modelo de Heisenberg es en realidad un ejemplo de una excepción al teorema estándar de Goldstone para QFT relativista. En el caso estándar, esperamos que cada simetría rota produzca un modo sin espacios con dispersión lineal en momentos pequeños. En general, esto no es cierto para los sistemas no relativistas como el modelo de Heisenberg. Considere el hamiltoniano

$$\begin{equation} H=-J\sum_{n=1}^N\vec{s}_n\cdot\vec{s}_{n+1}, \end{equation}$$ donde asumimos condiciones de frontera periódicas $\vec{s}_{N+1}=\vec{s}_1$. Aquí estamos describiendo una cadena de espín en lugar de una red por simplicidad. Dado que el hamiltoniano empareja a los vecinos más cercanos a través de un producto escalar, el propio hamiltoniano exhibe simetría rotacional sobre el $x$, $y$, y $z$hachas El estado fundamental de este sistema tiene todos los espines apuntando en la misma dirección, que elegiremos como la $+z$dirección; eso es, $$\begin{equation} |0\rangle=|\uparrow,...,\uparrow\rangle. \end{equation}$$ Así, el vacío, o estado fundamental, de la teoría ha elegido una dirección preferida en el espacio y ha roto la simetría rotacional original. Bastante, $|0\rangle$sólo es invariante bajo rotaciones sobre el $z$-eje. Puede verificar este hecho usted mismo actuando sobre el estado fundamental con los operadores de rotación SU(2) estándar (uno para cada sitio de red). Decimos que la simetría SO(3) original se ha roto a SO(2). Tenemos dos simetrías rotas en este caso, correspondientes a rotaciones sobre el $x$y $y$hachas

Ahora considere el siguiente estado

$$\begin{equation} |k\rangle=\sum_{n=1}^N e^{ikn}|...,\uparrow,\downarrow_n,\uparrow,...\rangle, \end{equation}$$ que es una combinación lineal de estados con el $n$-ésima vuelta volteada hacia abajo. Se puede demostrar que este estado es un estado propio de energía con energía de excitación (por encima del estado fundamental) $$\begin{equation} \Delta_E=\hbar^2J(1-\cos(k)), \end{equation}$$ que es sin espacios y cuadrático en $k$Para pequeños $k$. Esta excitación se conoce como magnón. Lo curioso aquí es que rompimos dos simetrías pero encontramos solo una excitación con dispersión cuadrática en lugar de lineal. La razón es que las dos simetrías que rompimos no son independientes ya que los generadores de esas simetrías satisfacen las familiares relaciones de conmutación $$\begin{equation} [\sigma_i,\sigma_j]=2i\epsilon_{ijk}\sigma_k, \end{equation}$$ para que en especial $$\begin{equation} [\sigma_x,\sigma_y]=2i\sigma_z. \end{equation}$$ Al realizar rotaciones sobre el $x$y $y$ejes, podemos generar una rotación sobre el $z$-eje.

El número de generadores rotos es exactamente igual al número de bosones de Goldstone si

$$\begin{equation} \langle 0|[Q_i,Q_j]0\rangle =0, \end{equation}$$ para todos los generadores de simetría rota $Q$. Ahora puede preguntarse qué tiene de especial la invariancia de Lorentz. Recuerde que el teorema de Noether nos dice que las cargas conservadas (es decir, los generadores de simetría) se pueden escribir como la integral de una corriente conservada $$\begin{equation} Q=\int j^0(x) d^3x, \end{equation}$$ mientras que la invariancia de Lorentz exige que los valores esperados de los objetos con índices de Lorentz libres deben desaparecer $$\begin{equation} \langle j^0(x)\rangle=0, \end{equation}$$ asegurando así que el número de bosones de Goldstone sea siempre igual al número de generadores de simetría rota en una teoría relativista.

Puede encontrar útil la siguiente referencia (la fuente de la mayor parte de esta información). Ruptura espontánea de simetría