¿Las frecuencias de fonones acústicos son siempre lineales en kkk?

Estoy confundido por una discusión en el libro de texto de Ashcroft y Mermin en la pág. 512-513. Dicen que si tenemos un montón de iones en un sólido y despreciamos el efecto de los electrones de conducción, entonces las ondas se propagarán a la frecuencia del plasma, lo que contradice la idea de que las energías de los fonones acústicos deberían desaparecer como$\mathbf{k} \rightarrow \mathbf{0}$. Luego dicen que los electrones de conducción son esenciales para explicar por qué la relación de dispersión en los metales es lineal.

Por otro lado, he oído que la linealidad de la relación de dispersión se debe al teorema de Goldstone, que se basa en la invariancia traslacional del hamiltoniano y parece más general que el argumento de Ashcroft y Mermin. ¿Es correcto el argumento de Ashcroft y Mermin?

editar: Aquí hay una cita de pasajes relevantes de Ashcroft y Mermin, en la pág. 512-513 en el cap. 26:

[...] un conjunto de iones puntuales cargados debe sufrir vibraciones de longitud de onda larga a una frecuencia de plasma iónico$\Omega_{p}$[...]

Esto contradice la conclusión del Capítulo 22 de que las frecuencias de modo normal de longitud de onda larga de una red monoatómica de Bravais deberían desaparecer linealmente con$k$. Ese resultado es inaplicable porque la aproximación (22.64) que lleva a la forma lineal para$\omega (\mathbf{k})$en pequeño$k$sólo es válida si las fuerzas entre iones separados por$R$son insignificantemente pequeños para$R$de orden$1/k$. Pero la fuerza del cuadrado inverso cae tan lentamente con la distancia que no importa cuán pequeña sea$k$es decir, interacciones de iones separados por$R \geq 1/k$puede contribuir sustancialmente a la matriz dinámica (22.59). [Mencionan que la evidencia experimental, sin embargo, apoya una relación de dispersión lineal.]

Para entender por qué la dispersión de fonones es lineal en pequeñas$k$es esencial, al considerar el movimiento iónico, tener en cuenta los electrones de conducción.

[Luego discuten cómo la detección da como resultado una interacción efectiva de corto alcance.] [...] produciendo un campo iónico efectivo de corto alcance y, por lo tanto, capaz de conducir a una relación de dispersión de fonones que es lineal en$k$en longitudes de onda largas.