Tensores invariantes en una representación general y su significado físico

Respuestas cortas

1. Aplique el cálculo de Young (según la sugerencia de ACuriousMind en los comentarios). Para encontrar la multiplicidad de la representación trivial en un producto tensorial de representaciones de$SU(n)$, tenga en cuenta que cada representación irreducible$D$de$SU(n)$tiene una única representación irreducible conjugada$\bar D$tal que el cálculo de Young permite$D\otimes \bar D$para incluir un diagrama de Young rectangular de altura completa$n$(que es invariante bajo$SU(n)$). Como sugiere Wooster en los comentarios, para que$D\otimes\bar D$para acomodar tal diagrama de Young, los tipos de simetría conjunta de$D$y$\bar D$debe ser compatible con (es decir, tener una superposición distinta de cero) alguna potencia tensorial/producto externo del tensor completamente antisimétrico$\epsilon_{i_1,\dots,i_n}$. En$SU(n)$Los diagramas de Young de este tipo corresponden a la representación invariante o trivial.
2. Si ves el$n$representación dimensional de$SU(n)$como una especie de espacio de Hilbert de una sola partícula, entonces los invariantes formados a partir de los productos tensoriales de esta representación pueden considerarse como '$SU(n)$estados "neutrales" de muchas partículas. Más abstractamente podrías interpretar las representaciones$SU(n)$muy diferente como una especie de teoría de calibre donde se mide el 'número de partículas'.
3. El problema de la ramificación se ha resuelto en varios casos especiales. Por ejemplo, hay una fórmula explícita para la ramificación de representaciones para$SU(n)\rightarrow SU(n-1)$. Para representaciones de bajo rango, el cálculo de Young es una poderosa herramienta de propósito general para determinar la ramificación. Una estrategia es descomponer la representación fundamental de$SU(5)$en representaciones de$H\subset SU(5)$y luego compare iterativamente cómo se descomponen los productos tensoriales. Como ejemplo, considere el problema de descomponer representaciones de rango 2 de$SU(5)$en representaciones de$SU(2)\subset SU(5)$. La representación fundamental (vector) de$SU(5)$se rompe como$5_5 \rightarrow 2_2\oplus (1_2 \oplus 1_2 \oplus 1_2)=2_2\oplus 3\times 1_2$. A continuación, tenemos$5_5\otimes 5_5=10_5^A\oplus 15_5^S \rightarrow (2_2\oplus 3\times 1_2)\otimes (2_2\oplus 3\times 1_2)=(2_2\otimes 2_2)\oplus 3 \times (2_2\otimes 1_2) \oplus 3\times (1_2\otimes 2_2)\oplus 9\times 1_2=3_2^S\oplus 1_2^A\oplus 3\times 2_2^S\oplus 3\times 2_2^A\oplus 3\times 1_2^A\oplus 6\times 1_2^S$. Agrupando los términos según la simetría, vemos que$10_5^A\rightarrow 4\times 1_2^A\oplus 3\times 2_2^A$, y$15_5^S\rightarrow 3_2^S\oplus 3\times 2_2^S\oplus 6\times 1_2^S$.

Antecedentes sobre el cálculo de Young

En física, las representaciones irreducibles a menudo se etiquetan por su dimensión. Esta notación es compacta, pero oscurece la estructura algebraica subyacente. Los diagramas de Young proporcionan una notación más transparente basada en un resultado profundo, la dualidad de Schur-Weyl , que relaciona representaciones irreductibles de$GL(n)$a los del grupo de permutaciones$S_r$en$r$símbolos (aquí$r$es el rango de una representación tensorial). En última instancia, la dualidad de Schur-Weyl proviene del hecho de que las representaciones de dimensión finita de$GL(n)$todos pueden construirse a partir de productos tensoriales de una única representación fundamental (este es el análogo de la$\frac{1}{2}$representacion de$SU(2)$de la mecánica cuántica elemental). Por ahora, todo lo que necesita saber es que existe una correspondencia 1-1 entre las representaciones de$GL(n)$y el conjunto de todos los diagramas de Young con altura máxima$n$. Los diagramas de Young simplifican enormemente la tarea de descomponer productos tensoriales de representaciones de$GL(n)$, así como muchos subgrupos de$GL(n)$con estructura 'similar' (p. ej.$U(n)$,$SL(n)$,$SU(n)$, etc.). También hacen que sea más fácil notar ciertas soluciones parciales al problema de la ramificación, como determinar cómo las representaciones de$GL(n)$descomponer en representaciones de$GL(n-1)$.

Dejar$r$ser un entero positivo. Los diagramas jóvenes están asociados con particiones de$r$: secuencias de enteros$\lambda_1\geq\lambda_2\geq\cdots\geq\lambda_k\geq 0$tal que$\sum_j \lambda_j = r$. Dada una partición$(\lambda_1,\dots,\lambda_k)$, dibuje un diagrama de Young de la siguiente manera: (i) dibuje una fila horizontal de$\lambda_1$cajas, (ii) dibujar una fila horizontal de$\lambda_{j+1}$casillas comenzando desde la izquierda debajo de la$j$tirar,$1\leq j<k$. Por ejemplo, la partición$(2,1,1)$de$r=4$correspondería al diagrama

Como se mencionó anteriormente, cada diagrama con como máximo$n$filas corresponde a una representación irreducible de$GL(n)$. Una vez más, este hecho es útil porque$GL(n)$está estrechamente relacionado con muchos otros grupos de interés en física. Se puede pensar en un diagrama de Young como una forma eficiente de realizar un seguimiento de la simetrización de los índices de tensor: después de colocar los índices de tensor$i_1$a través de$i_r$en los cuadrados de un diagrama de Young, los tensores irreducibles correspondientes son simétricos (pares) bajo permutaciones que preservan filas y antisimétricos (impares) bajo permutaciones que preservan columnas. Existe una fórmula general para la dimensión de un$GL(n)$representación etiquetada por un diagrama de Young, pero en la práctica la dimensión se puede calcular de manera más eficiente para rango bajo usando las reglas de descomposición para productos tensoriales, que se explicarán ahora.

Las reglas de descomposición del producto tensorial para$GL(n)$seguir de un tipo especial de problema de 'ramificación inversa' para el grupo de permutación$S_r$. Al final, se obtienen las siguientes reglas:

Dejar$L=(\lambda_1,\dots,\lambda_k)$y$M=(\mu_1,\dots,\mu_\ell)$ser dos representaciones irreducibles de$GL(n)$, dada por sus diagramas de Young.

1. Dibuja los diagramas correspondientes a$L$y$M$. En el diagrama para$M$, elija un símbolo distinto para cada fila (p. ej.$a$para la primera fila,$b$para el segundo,$c$para el tercero, etc.), y escriba el símbolo en cada casilla de la fila de ese símbolo.
2. Encuentre todas las formas en que$\mu_1$ $a$'s se pueden agregar al diagrama de Young de$L$para que no haya dos$a$aparecen en la misma columna, y el gráfico resultante es otro diagrama de Young (es decir, la longitud de las filas no es creciente).
3. Para cada diagrama de Young más grande obtenido arriba, encuentre todas las formas en que$\mu_2$ $b$se pueden colocar sin dos en la misma columna, junto con una restricción adicional: al leer los símbolos agregados de derecha a izquierda, de arriba a abajo, el número de$a$que se han leído deben coincidir o superar el número de$b$'s que aparecen en cualquier paso.
4. Repita para el$\mu_3$ $c$entonces$\mu_4$ $d$'s, etc., excepto que ahora al imponer la última restricción mencionada en el paso 3, el número registrado de$c$'s no puede exceder el número de$b$'s (etc.).
5. El producto tensorial$L\otimes M$se descompone en una suma directa de todos los diagramas de Young obtenidos de esta manera.

Como ejemplo, considere el siguiente producto tensorial:

Para descomponer esto, primero etiquetamos el segundo diagrama con$A$'arena$B$'s:

A continuación encontramos todas las formas de sumar$A$bloques y luego$B$bloques, al diagrama de Young de$L$de acuerdo con las reglas anteriores:

$\rightarrow$

Tenga en cuenta que los diagramas como los siguientes no están permitidos:

Los primeros dos diagramas contienen dos$A$'s en la misma columna, mientras que el último no está permitido porque al leer los símbolos agregados derecha-izquierda arriba-abajo, obtenemos$ABBA$, que tiene más$B$es que$A$'s después de la tercera letra (esto es de la regla establecida en el paso 3).

Ahora resulta que todas las representaciones irreductibles de$GL(n)$permanecen irreductibles cuando se restringen a$SU(n)$. Sin embargo, algunas representaciones de$GL(n)$que antes eran distintas se vuelven isomorfas. Esto proviene del hecho de que es posible que dos representaciones irreducibles de$GL(n)$a diferir entre sí solo por las potencias del homomorfismo determinante:$\det(gh)=\det(g)\det(h)$. Una vez que el determinante se establece en la unidad en$SU(n)$(o$SL(n)$para el caso) esta distinción se desvanece, y las representaciones que sólo diferían en su poder de$\det(g)$son isomorfos. Afortunadamente, hay una manera simple de explicar esta redundancia: bajo$SU(n)$, las representaciones$(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$y$(\lambda_1+s,\dots,\lambda_n+s)$son equivalentes. Para tener en cuenta la redundancia, simplemente elegimos$s=-\lambda_n$y etiquetar las representaciones de$SU(n)$con solo$n-1$enteros no crecientes en lugar de$n$. Una consecuencia de esto es que si$\lambda_1=\lambda_2=\dots=\lambda_n$, entonces$[\lambda_1,\dots,\lambda_n]\cong[0,0,\dots,0]$: los tensores correspondientes a los diagramas de Young rectangulares son invariantes bajo$SU(n)$. Para encontrar la multiplicidad de la representación trivial en productos tensoriales, puede verificar a partir de las reglas de descomposición que cada representación irreducible$V$de$SU(n)$tiene un conjugado único$\bar V$tal que$V\otimes\bar V$incluye la representación trivial.

Referencias para lecturas adicionales:

Teoría de grupos y su aplicación a problemas físicos (por Morton Hamermesh): capítulos 7 y 10.

Teoría de Representaciones y Aplicaciones de Grupos (A. Barut & R. Raczka): capítulos 7 y 8.