¿Es una teoría de supergauge SU(2)SU(2)SU(2) realmente una teoría de calibre SU(2)SU(2)SU(2)?

Tiene razón al afirmar que el doblete$A'$deja de ser quiral si sus parámetros de calibre$\phi_j$Son reales. De hecho, en un$\mathcal{N} = 1$Teoría de calibre supersimétrica (global), lo que escribió anteriormente no proporciona una transformación de calibre. Trabajando como está en el formalismo de supercampo , una transformación de calibre supersimétrica de un supercampo quiral$\Phi$en una representación$R$del grupo de calibre$G$es dado por

$$\Phi \rightarrow \Phi' = e^{i \Lambda} \Phi,$$ dónde $\Lambda \equiv \Lambda_a T_R^a$, con $T_R^a$los generadores en la representación adecuada (las matrices de Pauli, en su ejemplo).

Estos parámetros de calibre$\Lambda_a$son, como sospechabas, supercampos quirales, cuyos 'componentes más bajos'$\lambda_a$(ver la ecuación a continuación) son campos complejos.

El$\Lambda_a$son de hecho funciones complejas de coordenadas superespaciales, a saber, espacio-tiempo$x^\mu$y los números de Grassmann$\theta_\alpha, \overline\theta_{\dot \alpha}$. Explícitamente (diferentes convenciones pueden estar en juego):

$$\Lambda_a \equiv \Lambda_a(x,\theta,\overline\theta) = \lambda_a(x) + \sqrt{2} \theta \psi^\lambda_a(x) + i \theta \sigma^\mu \overline \theta \partial_\mu \lambda_a(x)- \theta \theta F^\lambda_a(x)\\ \qquad- \frac{i}{\sqrt{2}}\theta\theta \partial_\mu \psi^\lambda_a(x) \sigma^\mu \overline \theta - \frac{1}{4} \theta\theta\overline\theta\overline\theta \square \lambda_a(x).$$ Similarmente, $\Phi(x,\theta,\overline\theta) = \phi(x)+ \sqrt{2} \theta \psi(x) - \theta \theta F(x) + (\ldots)$.

Si mi grupo de indicadores es, digamos,$G = \textrm{SU}(N)$, usted afirma que la teoría ya no es una$\textrm{SU}(N)$teoría, ya que$e^{i\Lambda}$no es (tomando$R$ser la representación fundamental) un$\textrm{SU}(N)$matriz.

Sin embargo, el hecho es que después de integrar sobre las coordenadas de Grassmann, ocultando así la construcción del supercampo, terminas con el Lagrangiano real de la teoría donde la invariancia de calibre se manifiesta de la manera habitual.

En particular, la parte cinética de la materia del Lagrangiano de una teoría SUSY calibre-materia viene dada, usando supercampos, por:

$$\mathcal{L}_\textrm{kin} = \int d\theta^2 d\overline\theta^2 \, \overline\Phi e^{V} \Phi,$$ dónde $V \equiv V_a T_R^a$, con $V_a$supercampos reales/vectoriales (supercampos generales restringidos por $\overline V_ a = V_a$).

La transformación de calibre actúa sobre los supercampos vectoriales de la siguiente manera:

$$e^V \rightarrow e^{i\overline\Lambda} e^V e^{-i\Lambda},$$ asegurando que en el superespacio nuestra teoría es invariante de calibre SUSY.

Integrando ahora sobre las coordenadas de Grassmann$\theta, \overline\theta$, se encuentra (omitiendo interacciones de gaugino y términos con campos auxiliares):

$$\mathcal{L}_\textrm{kin} \supset |D_\mu \phi(x)|^2 -i\overline\psi(x) \overline\sigma^\mu D_\mu \psi(x),$$ donde (hasta un factor de $2g$, dónde $g$es el acoplamiento de calibre) la derivada covariante $D_\mu$es el habitual. Este es un lagrangiano invariante de calibre perfectamente normal, es decir, invariante bajo las transformaciones de calibre habituales. Aquí lo tienes $\phi(x)$(el $\Phi$componente más bajo del supercampo) que se transforma como escribiste, en la misma representación $R$.

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NB: he omitido sistemáticamente los índices de calibre,$\Phi$es$\Phi^i$(y por lo tanto$\phi$es$\phi^i$,$i=1,\ldots,\textrm{dim }R$), correspondiente a$A$en tu ejemplo ($i=1,2$).

Lectura recomendada : capítulo 4.3.1 de ``Introducción a la supersimetría'' de R. Argurio, disponible en línea .